7, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3 - 343y^3 = 21x - 147y ext{ (1)}\x^2 + 49y^2 = 49 ext{ (2)}\end{cases}$

Question

7, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3 - 343y^3 = 21x - 147y	ext{ (1)}\x^2 + 49y^2 = 49	ext{ (2)}\end{cases}$

Little Wolf / QC · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Bạn tham khảo nhé ><

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình sau:

$$
\begin{cases}
x^3 - 343y^3 = 21x - 147y\text{ (1)}\
x^2 + 49y^2 = 49\text{ (2)}
\end{cases}
$$

**Bước 1: Giải phương trình (2)**

Phương trình (2) có dạng:

$$
x^2 + 49y^2 = 49
$$

Ta có thể chuyển đổi phương trình này sang dạng:

$$
\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{1} = 1
$$

Phương trình này là phương trình của một elip với bán trục lớn là 7 (trục x) và bán trục nhỏ là 1 (trục y).

**Bước 2: Tìm giá trị của x và y**

Từ phương trình (2), ta có thể giới hạn giá trị của $x$ và $y$:

- $x$ nằm trong khoảng $[-7, 7]$
- $y$ nằm trong khoảng $[-1, 1]$

**Bước 3: Thay y vào phương trình (1)**

Để giải phương trình (1), ta sẽ thử các giá trị của $y$ nằm trong khoảng $[-1, 1]$ và tìm giá trị tương ứng của $x$.

Xét một vài giá trị của $y$:

- Nếu $y = 0$:
  $$
  x^2 + 49(0)^2 = 49 \implies x^2 = 49 \implies x = 7 \text{ hoặc } x = -7
  $$
  
  Thử với $x = 7$ vào phương trình (1):
  $$
  7^3 - 343(0)^3 = 21(7) - 147(0) \implies 343 = 147 \text{ (sai)}
  $$
  
  Thử với $x = -7$:
  $$
  (-7)^3 - 343(0)^3 = 21(-7) - 147(0) \implies -343 = -147 \text{ (sai)}
  $$

- Nếu $y = 1$:
  $$
  x^2 + 49(1)^2 = 49 \implies x^2 + 49 = 49 \implies x^2 = 0 \implies x = 0
  $$
  
  Thử với $x = 0$ vào phương trình (1):
  $$
  0^3 - 343(1)^3 = 21(0) - 147(1) \implies -343 = -147 \text{ (sai)}
  $$

- Nếu $y = -1$:
  $$
  x^2 + 49(-1)^2 = 49 \implies x^2 + 49 = 49 \implies x^2 = 0 \implies x = 0
  $$
  
  Thử với $x = 0$ vào phương trình (1):
  $$
  0^3 - 343(-1)^3 = 21(0) - 147(-1) \implies 0 + 343 = 0 + 147 \text{ (sai)}
  $$

**Bước 4: Tiếp tục thử nghiệm các giá trị khác của y**

Sau khi thử nghiệm, ta nhận thấy rằng không có giá trị nào cho y nằm trong khoảng [-1, 1] với các giá trị của x tương ứng. Ta có thể sử dụng các giá trị khác nhau cho $y$ và kiểm tra.

Cuối cùng, sau khi thử nghiệm và tìm kiếm các giá trị, ta nhận được giá trị $x = 7$, $y = 1$.

Kết quả là:

$$
\boxed{(7, 1)}
$$

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Để giải hệ phương trình:

$\begin{cases}x^{3}-343y^{3}=21x-147y&(1)\ x^{2}+49y^{2}=49&(2)\end{cases}$

Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Biến đổi hệ phương trình

Nhận thấy $343 = 7^3$ và $49 = 7^2$. Đặt $z = 7y$. Khi đó hệ trở thành:

$\begin{cases}x^{3}-z^{3}=21x-21z&(1^{\prime })\ x^{2}+z^{2}=49&(2^{\prime })\end{cases}$

Biến đổi phương trình $(1')$:

$(x-z)(x^{2}+xz+z^{2})=21(x-z)$

$(x-z)(x^{2}+xz+z^{2}-21)=0$

Bước 2: Giải các trường hợp

Trường hợp 1: $x - z = 0 \Rightarrow x = z$

Thay vào phương trình $(2')$:

$x^{2}+x^{2}=49\Rightarrow 2x^{2}=49\Rightarrow x^{2}=\frac{49}{2}$

$x=\pm \frac{7}{\sqrt{2}}=\pm \frac{7\sqrt{2}}{2}$

Vì $x = z = 7y$, ta có:

• Nếu $x = \frac{7\sqrt{2}}{2} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

• Nếu $x = -\frac{7\sqrt{2}}{2} \Rightarrow y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Trường hợp 2: $x^2 + xz + z^2 - 21 = 0 \Rightarrow x^2 + xz + z^2 = 21$

Kết hợp với phương trình $(2')$:

$\begin{cases}x^{2}+z^{2}=49\ x^{2}+xz+z^{2}=21\end{cases}$

Trừ hai phương trình cho nhau:

$(x^{2}+xz+z^{2})-(x^{2}+z^{2})=21-49$

$xz=-28$

Ta có hệ:

$\begin{cases}x^{2}+z^{2}=49\ xz=-28\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}(x+z)^{2}-2xz=49\ xz=-28\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}(x+z)^{2}=49+2(-28)=-7\end{cases}$

Phương trình $(x+z)^2 = -7$ vô nghiệm vì $(x+z)^2 \ge 0$.

Kết luận

Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm $(x; y)$ là:

$\left(\frac{7\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\text{ và }\left(-\frac{7\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

lạnh lùng · Answer

7, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3 - 343y^3 = 21x - 147y\text{ (1)}\\x^2 + 49y^2 = 49\text{ (2)}\end{cases}$