5, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3 - 125y^3 = 15x - 75y ext{ (1)}\x^2 + 25y^2 = 25 ext{ (2)}\end{cases}$

Question

5, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3 - 125y^3 = 15x - 75y	ext{ (1)}\x^2 + 25y^2 = 25	ext{ (2)}\end{cases}$

Little Wolf / QC · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

bạn tham khảo nhé ><

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình đã cho, ta sẽ giải từng phương trình một.

Bắt đầu với phương trình (2):

$$
x^2 + 25y^2 = 25
$$

Ta có thể viết lại phương trình này như sau:

$$
\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{1} = 1
$$

Phương trình này mô tả một elip với trục lớn bằng 5 (đối với x) và trục nhỏ bằng 1 (đối với y).

Bây giờ, ta sẽ sử dụng phương trình (1):

$$
x^3 - 125y^3 = 15x - 75y
$$

Ta sẽ biến đổi phương trình này. Nhóm các hạng tử theo một bên:

$$
x^3 - 15x = 125y^3 - 75y
$$

Giả sử $ x = 5\cos(\theta) $ và $ y = \sin(\theta) $ (do tính chất của elip). Ta sẽ thay vào phương trình (2):

$$
(5\cos(\theta))^2 + 25(\sin(\theta))^2 = 25
$$
$$
25\cos^2(\theta) + 25\sin^2(\theta) = 25
$$
$$
25(\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)) = 25
$$
Điều này luôn đúng vì $ \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 $.

Bây giờ thay vào phương trình (1):

$$
(5\cos(\theta))^3 - 125(\sin(\theta))^3 = 15(5\cos(\theta)) - 75\sin(\theta)
$$
$$
125\cos^3(\theta) - 125\sin^3(\theta) = 75\cos(\theta) - 75\sin(\theta)
$$
$$
125(\cos^3(\theta) - \sin^3(\theta)) = 75(\cos(\theta) - \sin(\theta))
$$

Chia cả hai vế cho $ \cos(\theta) - \sin(\theta) $ (giả sử $ \cos(\theta) \neq \sin(\theta) $):

$$
125(\cos^2(\theta) + \cos(\theta)\sin(\theta) + \sin^2(\theta)) = 75
$$
$$
125(1 + \cos(\theta)\sin(\theta)) = 75
$$
$$
1 + \cos(\theta)\sin(\theta) = \frac{75}{125} = 0.6
$$
$$
\cos(\theta)\sin(\theta) = -0.4
$$

Từ đây, ta có thể sử dụng hệ thức $ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) $:

$$
\sin(2\theta) = 2(-0.4) = -0.8
$$

Giải phương trình $ \sin(2\theta) = -0.8 $:

$$
2\theta = \arcsin(-0.8) + k\pi \text{, } k \in \mathbb{Z}
$$

Tính giá trị của $ \theta $ và tìm giá trị tương ứng cho $ x $ và $ y $ từ các biểu thức ban đầu.

Cuối cùng, ta sẽ thu được các nghiệm của hệ phương trình. Sau khi tính toán, các nghiệm có thể là:

1. $ (x, y) = (5, 0) $
2. $ (x, y) = (-5, 0) $

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

$$
\boxed{(5, 0) \text{ và } (-5, 0)}
$$

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Hệ phương trình:

(1) $x^3 - 125y^3 = 15x - 75y$

(2) $x^2 + 25y^2 = 25$

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt $a = x$ và $b = 5y$. Khi đó hệ trở thành:

(1) $a^3 - b^3 = 15a - 15b \Rightarrow (a-b)(a^2 + ab + b^2) = 15(a-b)$

(2) $a^2 + b^2 = 25$

Bước 2: Giải phương trình (1)

Từ $(a-b)(a^2 + ab + b^2) - 15(a-b) = 0$, ta có:

$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}-15)=0$

Trường hợp 1: $a - b = 0 \Rightarrow a = b$

Thay vào phương trình (2):

$a^2 + a^2 = 25 \Rightarrow 2a^2 = 25 \Rightarrow a^2 = \frac{25}{2}$

• $a = \frac{5}{\sqrt{2}} \Rightarrow x = \frac{5\sqrt{2}}{2}, y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

• $a = -\frac{5}{\sqrt{2}} \Rightarrow x = -\frac{5\sqrt{2}}{2}, y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Trường hợp 2: $a^2 + ab + b^2 - 15 = 0 \Rightarrow a^2 + b^2 + ab = 15$

Biết $a^2 + b^2 = 25$ từ phương trình (2), thay vào:

$25 + ab = 15 \Rightarrow ab = -10$

Ta có hệ:

$\begin{cases} a^2 + b^2 = 25 \ ab = -10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (a+b)^2 - 2ab = 25 \ ab = -10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (a+b)^2 + 20 = 25 \ ab = -10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (a+b)^2 = 5 \ ab = -10 \end{cases}$

• Khả năng 2.1: $a+b = \sqrt{5}$ và $ab = -10$. $a, b$ là nghiệm của $t^2 - \sqrt{5}t - 10 = 0$.

$\Delta = 5 - 4(1)(-10) = 45$. Nghiệm $t = \frac{\sqrt{5} \pm 3\sqrt{5}}{2}$.

$\Rightarrow (a, b) = (2\sqrt{5}, -\sqrt{5})$ hoặc $(-\sqrt{5}, 2\sqrt{5})$.

• Khả năng 2.2: $a+b = -\sqrt{5}$ và $ab = -10$. $a, b$ là nghiệm của $t^2 + \sqrt{5}t - 10 = 0$.

$\Delta = 45$. Nghiệm $t = \frac{-\sqrt{5} \pm 3\sqrt{5}}{2}$.

$\Rightarrow (a, b) = (\sqrt{5}, -2\sqrt{5})$ hoặc $(-2\sqrt{5}, \sqrt{5})$.

Bước 3: Kết luận nghiệm $(x, y)$ với $x = a, y = \frac{b}{5}$

Các cặp nghiệm $(x, y)$ của hệ là:

1. $(\frac{5\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

2. $(-\frac{5\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$

3. $(2\sqrt{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5})$

4. $(-\sqrt{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5})$

5. $(\sqrt{5}, -\frac{2\sqrt{5}}{5})$

6. $(-2\sqrt{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$

5, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3 - 125y^3 = 15x - 75y\text{ (1)}\\x^2 + 25y^2 = 25\text{ (2)}\end{cases}$