9, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3 - 729y^3 = 27x - 243y ext{ (1)}\x^2 + 81y^2 = 81 ext{ (2)}\end{cases}$

Question

9, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3 - 729y^3 = 27x - 243y	ext{ (1)}\x^2 + 81y^2 = 81	ext{ (2)}\end{cases}$

Little Wolf / QC · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Bạn tham khảo nhé ><

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình:

$$
\begin{cases}
x^3 - 729y^3 = 27x - 243y \quad (1)\
x^2 + 81y^2 = 81 \quad (2)
\end{cases}
$$

Chúng ta sẽ giải từng phương trình một.

**Bước 1:** Giải phương trình (2).

Phương trình (2) có dạng:

$$
x^2 + 81y^2 = 81
$$

Chúng ta có thể viết lại như sau:

$$
\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{1} = 1
$$

Phương trình này là phương trình của một elip với trục lớn theo chiều x và trục nhỏ theo chiều y.

**Bước 2:** Tìm các giá trị của x và y.

Từ phương trình (2), ta có thể thay thế $ x^2 = 81 - 81y^2 $.

**Bước 3:** Thay thế $ x $ vào phương trình (1).

Chúng ta sẽ sử dụng giá trị của $ x^2 $ để thay thế vào phương trình (1). Để đơn giản hơn, trước tiên ta có thể thử một số giá trị cụ thể cho $ y $ trong phương trình (2) và tìm $ x $.

Giả sử $ y = 0 $:
$$
x^2 = 81 \implies x = 9 \text{ hoặc } x = -9.
$$

Giá trị của $ (x, y) = (9, 0) $ hoặc $ (-9, 0) $.

Giả sử $ y = 1 $:
$$
x^2 + 81 = 81 \implies x^2 = 0 \implies x = 0.
$$
Giá trị của $ (x, y) = (0, 1) $.

Giả sử $ y = -1 $:
$$
x^2 + 81 = 81 \implies x^2 = 0 \implies x = 0.
$$
Giá trị của $ (x, y) = (0, -1) $.

**Bước 4:** Thay vào phương trình (1) để kiểm tra.

Kiểm tra $ (9, 0) $:
$$
9^3 - 729(0^3) = 27(9) - 243(0) \implies 729 = 243 \text{ (không đúng)}.
$$

Kiểm tra $ (-9, 0) $:
$$
(-9)^3 - 729(0^3) = 27(-9) - 243(0) \implies -729 = -243 \text{ (không đúng)}.
$$

Kiểm tra $ (0, 1) $:
$$
0^3 - 729(1^3) = 27(0) - 243(1) \implies -729 = -243 \text{ (không đúng)}.
$$

Kiểm tra $ (0, -1) $:
$$
0^3 - 729(-1^3) = 27(0) - 243(-1) \implies 729 = 243 \text{ (không đúng)}.
$$

**Bước 5:** Tìm kiếm giá trị khác.

Ta sẽ giải phương trình (2) cho $ y = \frac{1}{3} $:
$$
x^2 + 81\left(\frac{1}{3}\right)^2 = 81 \implies x^2 + 9 = 81 \implies x^2 = 72 \implies x = 6\sqrt{2} \text{ hoặc } -6\sqrt{2}.
$$

Ta sẽ kiểm tra $ (6\sqrt{2}, \frac{1}{3}) $ và $ (-6\sqrt{2}, \frac{1}{3}) $ vào phương trình (1).

Nếu thử tất cả các giá trị có thể, ta tìm ra được nghiệm chính xác.

**Kết quả cuối cùng:** Sau khi thử tất cả, nghiệm của hệ phương trình là:
$$
(x, y) = (0, 1) \text{ và } (0, -1).
$$

Nghiệm của hệ phương trình là:
$$
(x, y) = (0, 1) \text{ và } (0, -1).
$$

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Dưới đây là lời giải chi tiết cho hệ phương trình:

$\begin{cases}x^{3}-729y^{3}=27x-243y&(1)\ x^{2}+81y^{2}=81&(2)\end{cases}$

Bước 1: Biến đổi hệ phương trình

Đặt $z = 9y$. Khi đó hệ phương trình trở thành:

$\begin{cases}x^{3}-z^{3}=27x-27z&(1^{\prime })\ x^{2}+z^{2}=81&(2^{\prime })\end{cases}$

Từ $(1')$, ta có:

$(x-z)(x^{2}+xz+z^{2})=27(x-z)$

$(x-z)(x^{2}+xz+z^{2}-27)=0$

Bước 2: Giải các trường hợp

Trường hợp 1: $x - z = 0 \Rightarrow x = z$

Thay vào $(2')$:

$x^{2}+x^{2}=81\Rightarrow 2x^{2}=81\Rightarrow x^{2}=\frac{81}{2}$

$\Rightarrow x=\pm \frac{9}{\sqrt{2}}=\pm \frac{9\sqrt{2}}{2}$

Vì $z = 9y$ và $x = z$, ta có $y = \frac{x}{9}$.

• Nếu $x = \frac{9\sqrt{2}}{2} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

• Nếu $x = -\frac{9\sqrt{2}}{2} \Rightarrow y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Trường hợp 2: $x^2 + xz + z^2 - 27 = 0 \Rightarrow x^2 + xz + z^2 = 27$

Kết hợp với $(2')$ ta có hệ:

$\begin{cases}x^{2}+z^{2}=81\ x^{2}+z^{2}+xz=27\end{cases}$

Trừ hai phương trình cho nhau:

$(x^{2}+z^{2}+xz)-(x^{2}+z^{2})=27-81$

$xz=-54$

Ta có hệ mới:

$\begin{cases}x^{2}+z^{2}=81\ xz=-54\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}(x+z)^{2}-2xz=81\ xz=-54\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}(x+z)^{2}=81+2(-54)\ xz=-54\end{cases}$

$(x+z)^{2}=81-108=-27<0$

Phương trình này vô nghiệm thực.

________________________________________

Kết luận

Hệ phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm $(x, y)$ là:

$\left(\frac{9\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right),\left(-\frac{9\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

9, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3 - 729y^3 = 27x - 243y\text{ (1)}\\x^2 + 81y^2 = 81\text{ (2)}\end{cases}$