2, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3 - 8y^3 = 6x - 12y ext{ (1)}\x^2 + 4y^2 = 8 ext{ (2)}\end{cases}$

Question

2, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3 - 8y^3 = 6x - 12y	ext{ (1)}\x^2 + 4y^2 = 8	ext{ (2)}\end{cases}$

Little Wolf / QC · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

bạn tham khảo nhé ><

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình:

$$
\begin{cases}
x^3 - 8y^3 = 6x - 12y \quad (1)\
x^2 + 4y^2 = 8 \quad (2)
\end{cases}
$$

Bước 1: Giải phương trình (2) để tìm mối quan hệ giữa $x$ và $y$.

Từ phương trình (2):

$$
x^2 + 4y^2 = 8
$$

Chúng ta có thể biểu diễn $x^2$ theo $y$:

$$
x^2 = 8 - 4y^2
$$

Bước 2: Sử dụng mối quan hệ này trong phương trình (1).

Tuy nhiên, để đơn giản hơn, chúng ta thử tìm giá trị của $y$ từ phương trình (2).

Bước 3: Xét giá trị khả thi của $y$.

Đặt $y = 0$:

$$
x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm 2\sqrt{2}
$$

Đặt $y = 1$:

$$
x^2 + 4(1)^2 = 8 \Rightarrow x^2 + 4 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2
$$

Đặt $y = -1$:

$$
x^2 + 4(-1)^2 = 8 \Rightarrow x^2 + 4 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2
$$

Giá trị khả thi cho $y$ có thể là $0, 1, -1$ và cho $x$ là $2, -2, 2\sqrt{2}, -2\sqrt{2}$.

Bước 4: Thử từng cặp giá trị trong phương trình (1):

1. Với $ (x, y) = (2, 1) $:

$$
2^3 - 8(1)^3 = 6(2) - 12(1) \Rightarrow 8 - 8 = 12 - 12 \Rightarrow 0 = 0
$$

Cặp $ (2, 1) $ thỏa mãn.

2. Với $ (x, y) = (-2, 1) $:

$$
(-2)^3 - 8(1)^3 = 6(-2) - 12(1) \Rightarrow -8 - 8 = -12 - 12 \Rightarrow -16 \neq -24
$$

Cặp này không thỏa mãn.

3. Với $ (x, y) = (2, 0) $:

$$
2^3 - 8(0)^3 = 6(2) - 12(0) \Rightarrow 8 - 0 = 12 - 0 \Rightarrow 8 \neq 12
$$

Cặp này không thỏa mãn.

4. Với $ (x, y) = (-2, 0) $:

$$
(-2)^3 - 8(0)^3 = 6(-2) - 12(0) \Rightarrow -8 - 0 = -12 - 0 \Rightarrow -8 \neq -12
$$

Cặp này không thỏa mãn.

Từ việc thử nghiệm, ta nhận thấy rằng chỉ có cặp giá trị $ (2, 1) $ là thỏa mãn cả hai phương trình.

Bước 5: Kết luận.

Giải hệ phương trình đã cho là:

$$
(x, y) = (2, 1)
$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $ (2, 1) $.

mdung · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

$\begin{cases}x^{3}-y^{3}=3x-3y\quad (1)\ x^{2}+y^{2}=4\quad (2)\end{cases}$

Giải phương trình (1)

$(x^{3}-y^{3})-(3x-3y)=0$

$(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})-3(x-y)=0$

$(x-y)(x^{2}+xy+y^{2}-3)=0$

Chia 2 trường hợp

Trường hợp 1: $x - y = 0 \iff x = y$

Thay $x = y$ vào phương trình (2):

$x^2 + x^2 = 4 \iff 2x^2 = 4 \iff x^2 = 2$

$\iff x = \pm\sqrt{2}$

Ta được 2 cặp nghiệm:

$(x; y) = (\sqrt{2}; \sqrt{2})$

$(x; y) = (-\sqrt{2}; -\sqrt{2})$

Trường hợp 2: $x^2 + xy + y^2 - 3 = 0 \iff x^2 + xy + y^2 = 3$

Kết hợp với phương trình (2) là

$x^2 + y^2 = 4$, ta thế vào:$4 + xy = 3 \iff xy = -1$

Ta có hệ phương trình mới:

$\begin{cases}x^{2}+y^{2}=4\ xy=-1\end{cases}$

Tính tổng và hiệu của $x, y$:

$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 4 + 2(-1) = 2 \implies x + y = \pm\sqrt{2}$

$(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 4 - 2(-1) = 6 \implies x - y = \pm\sqrt{6}$

Hệ phương trình đã cho có tất cả 6 cặp nghiệm $(x; y)$ là:

$(\sqrt{2}; \sqrt{2})$

$(-\sqrt{2}; -\sqrt{2})$

$\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}\right)$

2, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3 - 8y^3 = 6x - 12y\text{ (1)}\\x^2 + 4y^2 = 8\text{ (2)}\end{cases}$