3, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3 - 27y^3 = 9x - 27y\text{ (1)}\\x^2 + 9y^2 = 9\text{ (2)}\end{cases}$

Để giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x^3 - 27y^3 = 9x - 27y\text{ (1)}\\ x^2 + 9y^2 = 9\text{ (2)} \end{cases} \] Chúng ta bắt đầu từ phương trình (2): \[ x^2 + 9y^2 = 9 \] Từ phương trình này, ta có thể biểu diễn \(x^2\) như sau: \[ x^2 = 9 - 9y^2 \] Sau đó, lấy căn bậc hai để tìm \(x\): \[ x = \pm \sqrt{9 - 9y^2} = \pm 3\sqrt{1 - y^2} \] Chúng ta sẽ thay thế giá trị của \(x\) vào phương trình (1). Để đơn giản, ta sẽ chọn trường hợp \(x = 3\sqrt{1 - y^2}\): Thay vào phương trình (1): \[ (3\sqrt{1 - y^2})^3 - 27y^3 = 9(3\sqrt{1 - y^2}) - 27y \] Tính giá trị bên trái: \[ 27(1 - y^2)^{\frac{3}{2}} - 27y^3 = 27\sqrt{1 - y^2} - 27y \] Giờ ta có: \[ 27(1 - y^2)^{\frac{3}{2}} - 27y^3 = 27\sqrt{1 - y^2} - 27y \] Chia cả hai bên cho 27: \[ (1 - y^2)^{\frac{3}{2}} - y^3 = \sqrt{1 - y^2} - y \] Biến đổi phương trình trên: \[ (1 - y^2)^{\frac{3}{2}} - \sqrt{1 - y^2} = y^3 - y \] Đặt \(a = \sqrt{1 - y^2}\), ta có \(y^2 = 1 - a^2\). Thay vào: \[ a^3 - a = (1 - a^2)^{\frac{3}{2}} - (1 - a^2) \] Từ đây, chúng ta tiếp tục giải phương trình này bằng cách thử một số giá trị của \(y\). Nếu thử với \(y = 0\): \[ x^2 = 9 \implies x = 3 \text{ hoặc } x = -3 \] Thử với \(y = 0\) vào (1): \[ x^3 = 9x \] Điều này cho ta các nghiệm: \[ x(x^2 - 9) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 3 \text{ hoặc } x = -3 \] Do đó, ta có các nghiệm của hệ: 1. \( (3, 0) \) 2. \( (-3, 0) \) 3. \( (0, 0) \) Chúng ta sẽ kiểm tra từng nghiệm: - Với \( (3, 0) \): \[ x^3 - 27y^3 = 27 - 0 = 27, \quad 9x - 27y = 27 - 0 = 27 \] Thỏa mãn. - Với \( (-3, 0) \): \[ (-3)^3 - 27(0)^3 = -27 - 0 = -27, \quad 9(-3) - 27(0) = -27 \] Thỏa mãn. - Với \( (0, 0) \): \[ 0^3 - 27(0)^3 = 0, \quad 9(0) - 27(0) = 0 \] Thỏa mãn. Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ \boxed{(3, 0), (-3, 0), (0, 0)} \]