4, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3 - 64y^3 = 12x - 48y ext{ (1)}\x^2 + 16y^2 = 16 ext{ (2)}\end{cases}$

Question

4, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3 - 64y^3 = 12x - 48y	ext{ (1)}\x^2 + 16y^2 = 16	ext{ (2)}\end{cases}$

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Hệ phương trình:

(1) $x^3 - 64y^3 = 12x - 48y$

(2) $x^2 + 16y^2 = 16$

________________________________________

Bước 1: Biến đổi phương trình (1)

Nhóm các hạng tử ở vế phải:

$x^{3}-(4y)^{3}=12(x-4y)$

Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$(x-4y)(x^{2}+4xy+16y^{2})=12(x-4y)$

$(x-4y)(x^{2}+4xy+16y^{2}-12)=0$

Từ đây ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: $x - 4y = 0 \Rightarrow x = 4y$

Thay vào phương trình (2):

$(4y)^{2}+16y^{2}=16$

$16y^{2}+16y^{2}=16\Rightarrow 32y^{2}=16\Rightarrow y^{2}=\frac{1}{2}$

• Nếu $y = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ thì $x = 2\sqrt{2}$.

• Nếu $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ thì $x = -2\sqrt{2}$.

Trường hợp 2: $x^2 + 4xy + 16y^2 - 12 = 0 \Rightarrow x^2 + 16y^2 = 12 - 4xy$

Thay phương trình (2) $x^2 + 16y^2 = 16$ vào biểu thức trên:

$16=12-4xy\Rightarrow 4xy=-4\Rightarrow xy=-1\Rightarrow y=-\frac{1}{x}$

Thay $y = -\frac{1}{x}$ vào phương trình (2):

$x^{2}+16\left(-\frac{1}{x}\right)^{2}=16$

$x^{2}+\frac{16}{x^{2}}=16$

Đặt $t = x^2$ ($t > 0$):

$t+\frac{16}{t}=16\Rightarrow t^{2}-16t+16=0$

Giải phương trình bậc hai:

$\Delta ^{\prime }=(-8)^{2}-16=64-16=48$

$t=8\pm \sqrt{48}=8\pm 4\sqrt{3}$

• Với $x^2 = 8 + 4\sqrt{3} = (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 \Rightarrow x = \pm (\sqrt{6} + \sqrt{2})$.

Tương ứng $y = -\frac{1}{x} = \mp \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

• Với $x^2 = 8 - 4\sqrt{3} = (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 \Rightarrow x = \pm (\sqrt{6} - \sqrt{2})$.

Tương ứng $y = -\frac{1}{x} = \mp \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

________________________________________

Kết luận

Hệ phương trình có các cặp nghiệm $(x, y)$ là:

1. $(2\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ và $(-2\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$

2. $(\sqrt{6} + \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4})$ và $(-\sqrt{6} - \sqrt{2}, \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

3. $(\sqrt{6} - \sqrt{2}, \frac{-\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$ và $(\sqrt{2} - \sqrt{6}, \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình:

$$
\begin{cases}
x^3 - 64y^3 = 12x - 48y \quad (1)\
x^2 + 16y^2 = 16 \quad (2)
\end{cases}
$$

Ta bắt đầu với phương trình (2):

$$
x^2 + 16y^2 = 16
$$

Từ phương trình này, ta có thể biểu diễn $ x^2 $:

$$
x^2 = 16 - 16y^2
$$

Từ đây, ta có thể tìm giá trị của $ x $:

$$
x = \sqrt{16 - 16y^2} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{16 - 16y^2}
$$

Bây giờ, ta sẽ thay giá trị của $ x $ vào phương trình (1). Nhưng trước tiên, ta sẽ rút gọn phương trình (1):

Phương trình (1):

$$
x^3 - 64y^3 = 12x - 48y
$$

Ta có thể nhóm lại:

$$
x^3 - 12x - 64y^3 + 48y = 0
$$

Bây giờ thay $ x $ từ phương trình (2) vào phương trình này. Tuy nhiên, để đơn giản hơn, ta sẽ thử nghiệm với một vài giá trị của $ y $.

Giả sử $ y = 0 $:

Từ phương trình (2):

$$
x^2 = 16 \Rightarrow x = 4 \text{ hoặc } x = -4
$$

Kiểm tra với $ y = 0 $ trong phương trình (1):

Với $ x = 4 $:

$$
4^3 - 64(0)^3 = 12(4) - 48(0) \Rightarrow 64 = 48 \quad \text{(sai)}
$$

Với $ x = -4 $:

$$
(-4)^3 - 64(0)^3 = 12(-4) - 48(0) \Rightarrow -64 = -48 \quad \text{(sai)}
$$

Thử với $ y = 1 $:

Từ phương trình (2):

$$
x^2 + 16(1)^2 = 16 \Rightarrow x^2 + 16 = 16 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0
$$

Thử lại trong phương trình (1):

$$
0^3 - 64(1)^3 = 12(0) - 48(1) \Rightarrow -64 = -48 \quad \text{(sai)}
$$

Thử với $ y = \frac{1}{2} $:

Từ phương trình (2):

$$
x^2 + 16\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 16 \Rightarrow x^2 + 16 \cdot \frac{1}{4} = 16 \Rightarrow x^2 + 4 = 16 \Rightarrow x^2 = 12 \Rightarrow x = 2\sqrt{3} \text{ hoặc } x = -2\sqrt{3}
$$

Kiểm tra $ x = 2\sqrt{3} $ trong phương trình (1):

$$
(2\sqrt{3})^3 - 64\left(\frac{1}{2}\right)^3 = 12(2\sqrt{3}) - 48\left(\frac{1}{2}\right)
$$

Tính các giá trị:

$$
24\sqrt{3} - 64 \cdot \frac{1}{8} = 24\sqrt{3} - 24
$$

Cả hai bên bằng nhau, do đó $ (x, y) = (2\sqrt{3}, \frac{1}{2}) $ là một nghiệm.

Thử với $ y = -\frac{1}{2} $:

Tương tự như trên, sẽ tìm được nghiệm khác là $ (x, y) = (-2\sqrt{3}, -\frac{1}{2}) $.

Cuối cùng, nghiệm của hệ phương trình là:

$$
\boxed{(2\sqrt{3}, \frac{1}{2}) \quad \text{và} \quad (-2\sqrt{3}, -\frac{1}{2})}
$$

Little Wolf / QC · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

bạn tham khảo nhé ><

4, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3 - 64y^3 = 12x - 48y\text{ (1)}\\x^2 + 16y^2 = 16\text{ (2)}\end{cases}$