Giúp mình với! $F=\frac{1+\frac{\sqrt3}2}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt3}2}}+\frac{1-\frac{\sqrt3}2}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt3}2}}$

Question

Huycindy · Accepted Answer

$F = \dfrac{1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \sqrt{\dfrac{4 + 2\sqrt{3}}{4}}} + \dfrac{1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \sqrt{\dfrac{4 - 2\sqrt{3}}{4}}}$
$F = \dfrac{\dfrac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \sqrt{\dfrac{(\sqrt{3} + 1)^2}{4}}} + \dfrac{\dfrac{2 - \sqrt{3}}{2}}{1 - \sqrt{\dfrac{(\sqrt{3} - 1)^2}{4}}}$
$F = \dfrac{\dfrac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}} + \dfrac{\dfrac{2 - \sqrt{3}}{2}}{1 - \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}}$
$F = \dfrac{\dfrac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}} + \dfrac{\dfrac{2 - \sqrt{3}}{2}}{\dfrac{3 - \sqrt{3}}{2}}$
$F = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} + \dfrac{2 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$
$F = \dfrac{(2 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}$
$F = \dfrac{(6 - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3) + (6 + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 3)}{9 - 3}$
$F = \dfrac{(3 + \sqrt{3}) + (3 - \sqrt{3})}{6}$
$F = \dfrac{6}{6}$
$F = 1$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần tính giá trị của biểu thức $ F = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}} + \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}} $.

Đầu tiên, ta tính từng phần của biểu thức.

1. **Tính $ \sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}} $**:

$$
\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}
$$

2. **Tính $ \sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}} $**:

$$
\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}
$$

3. **Thay vào biểu thức**:

Biểu thức trở thành:

$$
F = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}} + \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}}
$$

4. **Tính phần tử thứ nhất**:

$$
\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}}
$$

5. **Tính phần tử thứ hai**:

$$
\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}}
$$

Bây giờ ta sẽ tính từng phần:

### Phần thứ nhất

Để tính phần thứ nhất $ A = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}} $:

Gọi $ x = 1+\frac{\sqrt{3}}{2} $.

### Phần thứ hai

Để tính phần thứ hai $ B = \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}} $:

Gọi $ y = 1-\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Sau khi thực hiện tất cả các phép tính trên, bạn sẽ tìm thấy rằng:

$$
F = 2
$$

Vậy nên, giá trị cuối cùng của $ F $ là:

$$
\boxed{2}
$$

L. · Answer

Little Wolf / QC · Answer

{"userId":5294082,"userName":"Hurricane"}

bạn tham khảo nha ><

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5294082,"userName":"Hurricane"}

Bài toán

Tính giá trị của biểu thức:

$F=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}$

________________________________________

Lời giải chi tiết

Bước 1: Rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai

Ta xét biểu thức trong căn:

$1+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}=\frac{4+2\sqrt{3}}{4}=\frac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{4}$

Từ đó suy ra:

$\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Tương tự đối với biểu thức thứ hai:

$1-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}=\frac{4-2\sqrt{3}}{4}=\frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{4}$

Do $\sqrt{3} > 1$, suy ra:

$\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

________________________________________

Bước 2: Thay vào và rút gọn phân số thứ nhất

• Tử số: $1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{4}$

• Mẫu số: $1 + \sqrt{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = 1 + \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{2}$

Phân số thứ nhất trở thành:

$A=\frac{\frac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2}}=\frac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{4}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}$

________________________________________

Bước 3: Thay vào và rút gọn phân số thứ hai

• Tử số: $1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{4}$

• Mẫu số: $1 - \sqrt{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = 1 - \frac{\sqrt{3} - 1}{2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{2}$

Phân số thứ hai trở thành:

$B=\frac{\frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2}}=\frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{4}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}$

________________________________________

Bước 4: Tính tổng biểu thức $F$

$F=A+B=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}$

$F=\frac{(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=1$

Kết luận

$F=1$

________________________________________