Giải giúp tôi câu này Với ba số thực x, y, z thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\leq8.$,Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $:T=506xz-xy-yz$

Question

Hurricane · Accepted Answer

{"userId":5216916,"userName":"Huycindy"}

Ta có $$x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 8$$

$$\Rightarrow 8 - y^{2} \ge x^{2} + z^{2} = (x + z)^{2} - 2xz \ge -2xz$$

$$ \Rightarrow-xz \le 4$$ hay $$xz \ge -4$$

Lại có $$-xy - yz = y(x + z) = [y - (x + z)]^{2} - (x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2xz) \ge -8 - 2xz$$

$$\Rightarrow T = 506xz - xy - yz = 507xz - y(x + z) \ge 507xz - 8 - 2xz$$

$$T \ge 506.(-4) - 8 - 2.(-4) = -2024$$

Vậy giá trị nhỏ nhất biểu thức $$T$$ là $$T = -2044$$ khi $$x = 2, z = -2, y = 0$$ hoặc$$ x = -2, z = 2, y = 0$$

Timi · Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ T = 506xz - xy - yz $ với điều kiện $ x^2 + y^2 + z^2 \leq 8 $, chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và tính toán.

Đầu tiên, ta có thể xem xét điều kiện của bài toán:

$$
x^2 + y^2 + z^2 \leq 8.
$$

Giả sử rằng $ x, y, z $ có thể đạt được giá trị tối đa trong miền này, do đó ta sẽ thử nghiệm với các giá trị cụ thể của $ x, y, z $.

Chúng ta sẽ kiểm tra một số trường hợp cụ thể cho $ x, y, z $ và tính giá trị của $ T $:

1. **Trường hợp 1: $ z = 0 $**

Khi $ z = 0 $, ta có:

$$
   T = 506 \cdot 0 \cdot x - xy - 0 \cdot y = -xy.
   $$

Với điều kiện $ x^2 + y^2 \leq 8 $. Để tối thiểu hóa $ -xy $, ta nên tối đa hóa $ xy $. Đặt $ x = \sqrt{8} \cos(\theta) $ và $ y = \sqrt{8} \sin(\theta) $, ta có:

$$
   xy = \sqrt{8} \cos(\theta) \cdot \sqrt{8} \sin(\theta) = 8 \cdot \frac{1}{2} \sin(2\theta) = 4 \sin(2\theta.
   $$

Giá trị lớn nhất của $ \sin(2\theta) $ là 1, vì vậy $ xy $ lớn nhất là 4. Do đó:

$$
   T = -xy \leq -4.
   $$

2. **Trường hợp 2: $ y = 0 $**

Tương tự, khi $ y = 0 $, ta có:

$$
   T = 506xz - 0 \cdot x - 0 \cdot z = 506xz.
   $$

Tối đa hóa $ xz $ với điều kiện $ x^2 + z^2 \leq 8 $. Sử dụng phương pháp tương tự như trên, ta có:

$$
   xz \leq \frac{x^2 + z^2}{2} \leq 4 \quad \text{(từ Cauchy-Schwarz)},
   $$

từ đó $ T $ không đạt giá trị nhỏ hơn -4.

3. **Trường hợp 3: Tìm giá trị cụ thể**

Thử với các giá trị cụ thể như $ x = 2, y = 2, z = 2 $:

$$
   x^2 + y^2 + z^2 = 2^2 + 2^2 + 2^2 = 12 \quad \text{(không thỏa mãn)}.
   $$

Thử với $ x = 2, y = 0, z = 2 $:

$$
   T = 506 \cdot 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0 - 0 \cdot 2 = 2024.
   $$

Vì vậy, từ các trường hợp thử nghiệm, giá trị nhỏ nhất của $ T $ mà chúng ta có được là:

$$
\boxed{-4}.
$$

Kết luận, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ T $ trong điều kiện $ x^2 + y^2 + z^2 \leq 8 $ là $ -4 $.