Giúp mình với! Câu 10. (1,0 điểm): Cho tập hợp $X=\{1,2,3,...,120\}$ gồm 120 số nguyên dương đầu tiên, trong đó,có 60 số được viết bằng màu đỏ và 60 số còn lại được viết bằng màu xanh. Chứng minh rằng tồn,tại 40 số nguyên dương liên tiếp thuộc tập X, trong đó có 20 số được viết màu đỏ và 20 số được,viết bằng màu xanh.

Question

Vu Nguyen · Accepted Answer

$\displaystyle ext{Chia tập hợp } X ext{ thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 40 số liên tiếp:}$ $\displaystyle A_1 = \{1, 2, \dots, 40\}, \quad A_2 = \{41, 42, \dots, 80\}, \quad A_3 = \{81, 82, \dots, 120\}$ $ \displaystyle ext{Gọi } Đ(A) ext{ là số lượng số màu đỏ trong nhóm } A. ext{ Ta có:} $ $\displaystyle Đ(A_1) + Đ(A_2) + Đ(A_3) = 60$ $ \displaystyle \bullet ext{ Trường hợp 1: } Đ(A_1) = Đ(A_2) = Đ(A_3) = 20$$\displaystyle \implies ext{ tm yêu cầu.}$ $\displaystyle \bullet ext{ Trường hợp 2: Trong 3 nhóm trên, có ít nhất một nhóm có số số đỏ } < 20 ext{ và một nhóm có số số đỏ } > 20.$ $\displaystyle ext{Không mất tính tổng quát, giả sử: } Đ(A_1) < 20 ext{ và } Đ(A_2) > 20$ $\displaystyle ext{Xét các nhóm gồm 40 số liên tiếp có dạng: } B_k = \{k, k+1, \dots, k+39\} \quad (k = 1, 2, \dots, 41) \displaystyle \implies B_1 = A_1 \implies Đ(B_1) < 20 \displaystyle \implies B_{41} = A_2 \implies Đ(B_{41}) > 20$ $\displaystyle ext{Khi chuyển từ nhóm } B_k ext{ sang nhóm } B_{k+1}, ext{ ta bớt đi số } k ext{ và thêm vào số } k+40.$ $\displaystyle \implies |Đ(B_{k+1}) - Đ(B_k)| \le 1$ $\displaystyle ext{Do } Đ(B_k) ext{ là số tự nhiên thay đổi liên tiếp tối đa 1 đơn vị mỗi bước từ } Đ(B_1) < 20 ext{ đến } Đ(B_{41}) > 20,$ $\displaystyle ext{nên bắt buộc phải tồn tại một chỉ số } k_0 \in \{2, 3, \dots, 40\} ext{ sao cho:}$ $\displaystyle Đ(B_{k_0}) = 20$ $\displaystyle \implies ext{Số số màu xanh trong nhóm } B_{k_0} ext{ là: } 40 - 20 = 20$ $\displaystyle \implies ext{đpcm.}$

Timi · Answer

Để chứng minh rằng trong tập hợp $X=\{1,2,3,...,120\}$ tồn tại 40 số nguyên dương liên tiếp trong đó có 20 số màu đỏ và 20 số màu xanh, chúng ta sẽ sử dụng nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý chia sẻ). Trước tiên, hãy chia tập hợp $X$ thành 3 đoạn liên tiếp, mỗi đoạn có độ dài 40. Cụ thể, chúng ta có 3 đoạn như sau: 1. Đoạn 1: $ \{1, 2, ..., 40\} $ 2. Đoạn 2: $ \{41, 42, ..., 80\} $ 3. Đoạn 3: $ \{81, 82, ..., 120\} $ Mỗi đoạn có tổng cộng 40 số. Bây giờ, chúng ta sẽ tính số lượng số màu đỏ và số màu xanh trong mỗi đoạn này. Gọi số lượng số màu đỏ trong đoạn thứ $i$ là $r_i$ và số lượng số màu xanh là $b_i$ với $i=1,2,3$. Rõ ràng, chúng ta có: $$ r_i + b_i = 40 \quad \text{với } i = 1, 2, 3 $$ Vì trong tập hợp $X$ có tổng cộng 60 số màu đỏ và 60 số màu xanh, ta có: $$ r_1 + r_2 + r_3 = 60 \ b_1 + b_2 + b_3 = 60 $$ Từ các phương trình trên, ta có thể suy ra rằng trong mỗi đoạn có thể có nhiều cách phân bố số lượng số màu đỏ và xanh. Điều thú vị là tổng số màu đỏ và xanh trong mỗi đoạn là 40. Bây giờ, giả sử rằng trong một trong ba đoạn (giả sử là đoạn 1) có $r_1 > 20$. Khi đó, số màu xanh trong đoạn này sẽ là $b_1 < 20$. Tương tự, nếu ta giả định rằng trong đoạn 2 có $r_2 > 20$, thì $b_2 < 20$. Nếu cả hai đoạn 1 và 2 đều có số màu đỏ nhiều hơn 20, thì tổng số màu đỏ trong cả hai đoạn là: $$ r_1 + r_2 > 20 + 20 = 40 $$ Nhưng tổng số màu đỏ tối đa là 60, nên đoạn 3 phải có ít nhất $r_3 = 60 - (r_1 + r_2) \geq 20$. Do đó, $b_3 \leq 20$. Tương tự, nếu ta giả định rằng đoạn 1 có $r_1 < 20$ thì sẽ dẫn đến $b_1 > 20$ và các đoạn còn lại sẽ tiếp tục có số lượng tương ứng. Do đó, không thể có một sự phân bố nào mà không có 20 số màu đỏ và 20 số màu xanh trong một trong ba đoạn. Kết luận, chúng ta đã chứng minh rằng trong tập hợp $X$ tồn tại 40 số nguyên dương liên tiếp trong đó có 20 số được viết màu đỏ và 20 số được viết màu xanh. **Đáp án**: Tồn tại 40 số nguyên dương liên tiếp thuộc tập $X$ có 20 số màu đỏ và 20 số màu xanh.

Minhphuong111 · Answer

Gọi $a_i$ là số lượng số được viết bằng màu đỏ trong dãy 40 số nguyên dương liên tiếp bắt đầu từ số $i$, với $i$ chạy từ 1 đến 81.

Xét số lượng số màu đỏ trong ba đoạn cố định không giao nhau, mỗi đoạn gồm 40 số liên tiếp:

Đoạn 1 gồm các số từ 1 đến 40. Số lượng số màu đỏ là $a_1$.

Đoạn 2 gồm các số từ 41 đến 80. Số lượng số màu đỏ là $a_{41}$.

Đoạn 3 gồm các số từ 81 đến 120. Số lượng số màu đỏ là $a_{81}$.

Tổng số lượng số màu đỏ trong cả ba đoạn này chính là tổng số lượng số màu đỏ của tập hợp $X$. Do đó ta có:

$a_1 + a_{41} + a_{81} = 60$

Vì tổng của ba số bằng 60, chắc chắn phải tồn tại ít nhất một số không lớn hơn 20 và một số không nhỏ hơn 20.

Nếu tồn tại một trong các giá trị $a_1$, $a_{41}$, $a_{81}$ bằng đúng 20, bài toán đã được chứng minh.

Ngược lại, nếu không có số nào bằng 20, ta giả sử đoạn có ít số đỏ nhất nhỏ hơn 20 và đoạn có nhiều số đỏ nhất lớn hơn 20. Không mất tính tổng quát, giả sử:

$a_1 < 20$

$a_{81} > 20$

Bây giờ, ta xét sự thay đổi của số lượng số màu đỏ khi tịnh tiến đoạn 40 số liên tiếp từ vị trí bắt đầu là $i$ sang vị trí $i + 1$.

Hiệu số lượng số màu đỏ giữa hai đoạn liên tiếp là:

$a_{i+1} - a_i$

Giá trị này chỉ có thể nhận một trong ba kết quả là -1, 0, hoặc 1, tùy thuộc vào màu sắc của số bị loại ra là $i$ và số được thêm vào là $i + 40$.

Như vậy, khi $i$ tăng dần từ 1 đến 81, giá trị của $a_i$ thay đổi liên tục, mỗi bước tăng hoặc giảm không quá 1 đơn vị.

Vì dãy số $a_1, a_2, ..., a_{81}$ thay đổi liên tục từng đơn vị một từ giá trị $a_1 < 20$ đến giá trị $a_{81} > 20$, theo nguyên lý giá trị trung gian, trong dãy này bắt buộc phải tồn tại một chỉ số $k$ sao cho:

$a_k = 20$

Khi đó, đoạn gồm 40 số nguyên dương liên tiếp bắt đầu từ số $k$ sẽ có đúng 20 số màu đỏ.

Vì đoạn có tổng cộng 40 số nên số lượng số màu xanh còn lại trong đoạn này cũng bằng:

40 - 20 = 20 số

Bài toán được chứng minh.

susuu123 · Answer

{"userId":5444935,"userName":"24251012"}

Gọi $x_{i}$ là trạng thái của số $i$:$x_i = 1$ nếu số $i$ màu đỏ.$x_i = 0$ nếu số $i$ màu xanh.Theo đề bài, tổng số số màu đỏ là: $\sum_{i=1}^{120} x_i = 60$.Xét $S_{k}$ là số lượng số màu đỏ trong bộ 40 số liên tiếp bắt đầu từ $k$:$S_{k}=\sum _{i=k}^{k+39}x_{i}\quad (k=1,2,...,81)$1. Tính tổng các giá trị $S_{k}$ đặc biệt:Xét các bộ 40 số không giao nhau:Bộ 1: $S_1 = x_1 + x_2 + ... + x_{40}$Bộ 2: $S_{41} = x_{41} + x_{42} + ... + x_{80}$Bộ 3: $S_{81} = x_{81} + x_{82} + ... + x_{120}$Ta có: $S_1 + S_{41} + S_{81} = \sum_{i=1}^{120} x_i = 60$.2. Đánh giá giá trị trung bình:Trung bình cộng của 3 bộ này là $60 / 3 = 20$. Do đó, chắc chắn xảy ra một trong hai trường hợp sau:Cả ba bộ đều bằng 20 ($S_1 = S_{41} = S_{81} = 20$). Khi đó bài toán đã được chứng minh.Tồn tại ít nhất một bộ nhỏ hơn 20 và một bộ lớn hơn 20. Giả sử $S_a < 20$ và $S_b > 20$.3. Sử dụng tính liên tục (Nguyên lý rời rạc):Xét hiệu của hai bộ liên tiếp:$S_{k+1}-S_{k}=(x_{k+1}+...+x_{k+40})-(x_{k}+...+x_{k+39})=x_{k+40}-x_{k}$Vì $x_i \in \{0, 1\}$, nên $\vert{}S_{k+1} - S_k\vert{} \in \{0, 1\}$. Nghĩa là khi chỉ số $k$ tăng lên 1 đơn vị, số lượng số màu đỏ chỉ có thể giữ nguyên, tăng 1 hoặc giảm 1.Vì dãy số $S_{k}$ thay đổi từng đơn vị một, để đi từ một giá trị $S_a < 20$ đến một giá trị $S_b > 20$, dãy số bắt buộc phải đi qua giá trị 20.Kết luận:Tồn tại chỉ số $k_{0}$ sao cho $S_{k_0} = 20$. Khi đó, trong 40 số liên tiếp $\{k_0, k_0+1, ..., k_0+39\}$ có đúng 20 số màu đỏ và (40 - 20) = 20 số màu xanh. (đpcm)

tam??????? · Answer

{"userId":5444935,"userName":"24251012"}

Gọi $a_{i}$ là số lượng số màu đỏ trong dãy 40 số liên tiếp bắt đầu từ số $i$.Dãy 40 số liên tiếp này là: $\{i, i+1, \dots, i+39\}$.Vì các số này thuộc $X$ nên $1 \le i \le i+39 \le 120$, suy ra $1 \le i \le 81$.Ta cần chứng minh tồn tại $i$ sao cho $a_i = 20$.Bước 1: Tính tổng các $a_{i}$ đặc biệt.Xét 3 nhóm 40 số liên tiếp không giao nhau:Nhóm 1: $\{1, 2, \dots, 40\} \implies$ có $a_{1}$ số đỏ.Nhóm 2: $\{41, 42, \dots, 80\} \implies$ có $a_{41}$ số đỏ.Nhóm 3: $\{81, 82, \dots, 120\} \implies$ có $a_{81}$ số đỏ.Vì tổng số số đỏ trong $X$ là 60, ta có: $a_1 + a_{41} + a_{81} = 60$.Bước 2: Xét các trường hợp của trung bình cộng.Trung bình cộng của 3 giá trị này là $\frac{60}{3} = 20$.Trường hợp 1: Nếu $a_1, a_{41}, a_{81}$ có ít nhất một số bằng 20 $\implies $ Bài toán đã được chứng minh.Trường hợp 2: Nếu không có số nào bằng 20.Vì tổng bằng 60, phải tồn tại ít nhất một số lớn hơn 20 và ít nhất một số nhỏ hơn 20.Giả sử $a_m > 20$ và $a_n < 20$ (với $m, n \in \{1, 41, 81\}$).Bước 3: Sử dụng tính chất thay đổi liên tiếp.Xét sự thay đổi khi chuyển từ $a_{i}$ sang $a_{i+1}$:$a_{i+1} = a_i - (\text{giá trị màu của số } i) + (\text{giá trị màu của số } i+40)$.(Trong đó giá trị màu là 1 nếu là số đỏ, 0 nếu là số xanh).Như vậy, $\vert{}a_{i+1} - a_i\vert{} \in \{0, 1\}$. Điều này có nghĩa là giá trị của $a_{i}$ chỉ có thể giữ nguyên hoặc tăng/giảm đúng 1 đơn vị khi $i$ tăng lên 1.Vì dãy số $a_{i}$ thay đổi liên tiếp từng đơn vị một, để đi từ một giá trị $a_m > 20$ đến một giá trị $a_n < 20$, dãy số $a_{i}$ bắt buộc phải đi qua giá trị 20.Kết luận: Tồn tại ít nhất một chỉ số $i$ sao cho $a_i = 20$. Bài toán được chứng minh