Tìm n nguyên để $15)~n^2+2n+4\vdots n+4$

Question

Huycindy · Accepted Answer

Ta có:
$n^2 + 2n + 4 = n^2 + 4n - 2n - 8 + 12$
$n^2 + 2n + 4 = n(n + 4) - 2(n + 4) + 12$
$n^2 + 2n + 4 = (n - 2)(n + 4) + 12$
Vì $(n - 2)(n + 4) \ \vdots \ n + 4$
Nên $12 \ \vdots \ n + 4$
$n + 4 \in \{-12; -6; -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 6; 12\}$
$\left[ \begin{aligned} &n + 4 = -12 \ &n + 4 = -6 \ &n + 4 = -4 \ &n + 4 = -3 \ &n + 4 = -2 \ &n + 4 = -1 \ &n + 4 = 1 \ &n + 4 = 2 \ &n + 4 = 3 \ &n + 4 = 4 \ &n + 4 = 6 \ &n + 4 = 12 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &n = -16 \ &n = -10 \ &n = -8 \ &n = -7 \ &n = -6 \ &n = -5 \ &n = -3 \ &n = -2 \ &n = -1 \ &n = 0 \ &n = 2 \ &n = 8 \end{aligned} ight.$
Vậy $n \in \{-16; -10; -8; -7; -6; -5; -3; -2; -1; 0; 2; 8\}$.

Timi · Answer

Để tìm giá trị của $ n $ nguyên sao cho $ n^2 + 2n + 4 $ chia hết cho $ n + 4 $, chúng ta có thể sử dụng phương pháp chia.

Đầu tiên, chúng ta thực hiện phép chia $ n^2 + 2n + 4 $ cho $ n + 4 $:

1. **Chia** $ n^2 $ cho $ n $: được $ n $.
2. **Nhân** $ n $ với $ n + 4 $: ta có $ n(n + 4) = n^2 + 4n $.
3. **Trừ** $ n^2 + 4n $ khỏi $ n^2 + 2n + 4 $: ta có
   $$
   n^2 + 2n + 4 - (n^2 + 4n) = 2n + 4 - 4n = -2n + 4.
   $$
4. Tiếp tục chia $ -2n + 4 $ cho $ n + 4 $:
   - Chia $ -2n $ cho $ n $: được $ -2 $.
   - Nhân $ -2 $ với $ n + 4 $: ta có $ -2(n + 4) = -2n - 8 $.
   - Trừ $ -2n - 8 $ khỏi $ -2n + 4 $:
   $$
   -2n + 4 - (-2n - 8) = 4 + 8 = 12.
   $$

Kết quả của phép chia là $ n - 2 $ và dư $ 12 $. Ta có:
$$
n^2 + 2n + 4 = (n + 4)(n - 2) + 12.
$$
Để $ n^2 + 2n + 4 $ chia hết cho $ n + 4 $, ta cần $ 12 $ chia hết cho $ n + 4 $. Điều này có nghĩa là:
$$
n + 4 \text{ là ước của } 12.
$$

Các ước của $ 12 $ là: $ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 $.

Giải từ $ n + 4 = k $ với $ k $ là các ước của $ 12 $:
- $ k = 1 $: $ n = 1 - 4 = -3 $
- $ k = 2 $: $ n = 2 - 4 = -2 $
- $ k = 3 $: $ n = 3 - 4 = -1 $
- $ k = 4 $: $ n = 4 - 4 = 0 $
- $ k = 6 $: $ n = 6 - 4 = 2 $
- $ k = 12 $: $ n = 12 - 4 = 8 $
- $ k = -1 $: $ n = -1 - 4 = -5 $
- $ k = -2 $: $ n = -2 - 4 = -6 $
- $ k = -3 $: $ n = -3 - 4 = -7 $
- $ k = -4 $: $ n = -4 - 4 = -8 $
- $ k = -6 $: $ n = -6 - 4 = -10 $
- $ k = -12 $: $ n = -12 - 4 = -16 $

Các giá trị của $ n $ nguyên thỏa mãn là:
$$
n = -3, -2, -1, 0, 2, 8, -5, -6, -7, -8, -10, -16.
$$

Vậy, các giá trị của $ n $ nguyên sao cho $ 15)~n^2 + 2n + 4 \vdots n + 4 $ là:
$$
\boxed{-3, -2, -1, 0, 2, 8, -5, -6, -7, -8, -10, -16}.
$$

Ninh Hoàng · Answer

{"userId":5444935,"userName":"24251012"}

$$n^2+2n+4$$

$$=n^2+4n-2n-8+12$$

$$=n\left(n+4\right)-2\left(n+4\right)+12$$

$$=\left(n-2\right)\left(n+4\right)+12$$

Để $$\left(n^2+2n+4\right)\vdots\left(n+4\right)$$ thì $$12\vdots\left(n+4\right)$$

Do đó: $$n+4\inƯ\left(12\right)=\left\lbrace\pm1;\pm2;\pm3;\pm4;\pm6;\pm12\right\rbrace$$

Ta có bảng: (Hình ảnh)

Vậy $$n\in\left\lbrace-16;-10;-8;-7;-6;-5;-3;-2;-1;0;2;8\right\rbrace$$.