Tim x,y nguen $5)~xy-2x-2y=0$

Question

Huycindy · Accepted Answer

Ta có:
$xy - 2x - 2y = 0$
$x(y - 2) - 2y + 4 = 4$
$x(y - 2) - 2(y - 2) = 4$
$(x - 2)(y - 2) = 4$
Vì $x, y \in \mathbb{Z}$ nên $x - 2 \in \mathbb{Z}$ và $y - 2 \in \mathbb{Z}$
Do đó $x - 2$ và $y - 2$ thuộc tập hợp ước của $4$
$x - 2 \in \{-4; -2; -1; 1; 2; 4\}$
Ta có bảng giá trị ẩn:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x - 2 & -4 & -2 & -1 & 1 & 2 & 4 \ \hline y - 2 & -1 & -2 & -4 & 4 & 2 & 1 \ \hline x & -2 & 0 & 1 & 3 & 4 & 6 \ \hline y & 1 & 0 & -2 & 6 & 4 & 3 \ \hline \end{array}$
Vậy $(x; y) \in \{(-2; 1); (0; 0); (1; -2); (3; 6); (4; 4); (6; 3)\}$.

Timi · Answer

Để giải phương trình $ xy - 2x - 2y = 0 $, chúng ta có thể biến đổi phương trình này như sau:

1. Đưa các hạng tử về một bên:
   $$
   xy - 2x - 2y = 0 \implies xy = 2x + 2y
   $$

2. Chia cả hai vế cho $ xy $ (miễn là $ xy \neq 0 $):
   $$
   1 = \frac{2}{y} + \frac{2}{x}
   $$

3. Đặt $ a = \frac{1}{x} $ và $ b = \frac{1}{y} $:
   $$
   1 = 2a + 2b \implies 2a + 2b = 1 \implies a + b = \frac{1}{2}
   $$

4. Từ đây, ta có thể viết lại:
   $$
   \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}
   $$

5. Đặt $ s = x + y $ và $ p = xy $, chúng ta biết rằng:
   $$
   \frac{s}{p} = \frac{1}{2} \implies s = \frac{p}{2}
   $$

6. Từ phương trình ban đầu, ta có thể viết lại dưới dạng:
   $$
   p - 2s = 0 \implies p = 2s
   $$

Kết hợp hai kết quả này, ta có:
$$
p = 2 \cdot \frac{p}{2} \implies p = p
$$
Điều này đúng cho mọi $ p $.

Để tìm các giá trị nguyên cho $ x $ và $ y $, ta có thể thử các giá trị nguyên cho $ x $ và sau đó tìm $ y $.

1. Nếu $ x = 0 $ thì $ y $ có thể là bất kỳ giá trị nào.
2. Nếu $ x = 1 $:
   $$
   1y - 2(1) - 2y = 0 \implies -y - 2 = 0 \implies y = -2
   $$
3. Nếu $ x = 2 $:
   $$
   2y - 2(2) - 2y = 0 \implies 0 = 0 \text{ (đúng với mọi giá trị y)}
   $$
4. Nếu $ x = 3 $:
   $$
   3y - 2(3) - 2y = 0 \implies y = 6
   $$
5. Nếu $ x = 4 $:
   $$
   4y - 2(4) - 2y = 0 \implies 2y = 8 \implies y = 4
   $$
6. Nếu $ x = 5 $:
   $$
   5y - 2(5) - 2y = 0 \implies 3y = 10 \implies y = \frac{10}{3} \text{ (không phải nguyên)}
   $$

Tiếp tục với các giá trị nguyên $ x $ khác, chúng ta sẽ tìm thấy các cặp $ (x, y) $ thỏa mãn phương trình như sau:
- Cặp $ (1, -2) $
- Cặp $ (2, y) $ (có vô số nghiệm)
- Cặp $ (3, 6) $
- Cặp $ (4, 4) $

Kết luận: Các giá trị nguyên $ (x, y) $ thỏa mãn phương trình là:
$$
(x, y) = (1, -2), (2, y \text{ bất kỳ}), (3, 6), (4, 4)
$$