Tìm tất cả các giá trị của số nguyên tố p để: $p + 10$ và $p + 14$ cũng là số nguyên tố

Question

Thắng Thắng · Accepted Answer

Trường hợp 1: $p = 2$

Khi đó $p + 10 = 2 + 10 = 12$. Vì 12 không phải là số nguyên tố nên $p = 2$ loại.

Trường hợp 2: $p = 3$

Khi đó $p + 10 = 3 + 10 = 13$ (là số nguyên tố).

Và $p + 14 = 3 + 14 = 17$ (là số nguyên tố).

Do đó, $p = 3$ là giá trị thỏa mãn bài toán.

Trường hợp 3: $p > 3$

Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3 nên $p$ không chia hết cho 3. Khi đó $p$ chỉ có thể có dạng $3k + 1$ hoặc $3k + 2$ với $k$ là số tự nhiên lớn hơn 0.

Nếu $p = 3k + 1$:

Ta có $p + 14 = (3k + 1) + 14 = 3k + 15$.

Hiệu này chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên $p + 14$ là hợp số (loại).

Nếu $p = 3k + 2$:

Ta có $p + 10 = (3k + 2) + 10 = 3k + 12$.

Tổng này chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên $p + 10$ là hợp số (loại).

Giá trị duy nhất của số nguyên tố $p$ cần tìm là $p = 3$.

Timi · Answer

Để tìm tất cả các giá trị của số nguyên tố $ p $ sao cho $ p + 10 $ và $ p + 14 $ cũng là số nguyên tố, ta sẽ xem xét các giá trị của $ p $ là số nguyên tố.

1. **Xét tính chẵn/lẻ của các số**:
   - Nếu $ p $ là số nguyên tố lớn hơn 2, thì $ p $ sẽ là số lẻ. Khi đó, $ p + 10 $ và $ p + 14 $ sẽ là số lẻ.
   - Nếu $ p = 2 $, thì:
     - $ p + 10 = 2 + 10 = 12 $ (không phải số nguyên tố)
     - $ p + 14 = 2 + 14 = 16 $ (không phải số nguyên tố)

Vậy $ p $ không thể là 2.

2. **Xét các số nguyên tố lẻ**:
   - Nếu $ p $ là số nguyên tố lẻ (3, 5, 7, 11, 13, ...):
     - $ p + 10 $ và $ p + 14 $ đều là số lẻ, nên ta sẽ kiểm tra từng trường hợp.

3. **Thử các giá trị của $ p $**:
   - $ p = 3 $:
     - $ p + 10 = 13 $ (số nguyên tố)
     - $ p + 14 = 17 $ (số nguyên tố)
   - $ p = 5 $:
     - $ p + 10 = 15 $ (không phải số nguyên tố)
   - $ p = 7 $:
     - $ p + 10 = 17 $ (số nguyên tố)
     - $ p + 14 = 21 $ (không phải số nguyên tố)
   - $ p = 11 $:
     - $ p + 10 = 21 $ (không phải số nguyên tố)
   - $ p = 13 $:
     - $ p + 10 = 23 $ (số nguyên tố)
     - $ p + 14 = 27 $ (không phải số nguyên tố)
   - $ p = 17 $:
     - $ p + 10 = 27 $ (không phải số nguyên tố)
   - $ p = 19 $:
     - $ p + 10 = 29 $ (số nguyên tố)
     - $ p + 14 = 33 $ (không phải số nguyên tố)
   - $ p = 23 $:
     - $ p + 10 = 33 $ (không phải số nguyên tố)
   - $ p = 29 $:
     - $ p + 10 = 39 $ (không phải số nguyên tố)
   - $ p = 31 $:
     - $ p + 10 = 41 $ (số nguyên tố)
     - $ p + 14 = 45 $ (không phải số nguyên tố)

4. **Tổng kết**:
   Sau khi thử các giá trị, ta thấy chỉ có $ p = 3 $ là giá trị duy nhất thỏa mãn điều kiện.

Vậy tất cả các giá trị của số nguyên tố $ p $ sao cho $ p + 10 $ và $ p + 14 $ cũng là số nguyên tố là:

$$
\boxed{3}
$$

Phụng Huỳnh Công · Answer

{"userId": 5444935, "userName": "24251012 "}
Để tìm các giá trị của số nguyên tố p sao cho p + 10 và p + 14 cũng là số nguyên tố, chúng ta có thể tiếp tục xét các trường hợp của p theo phương pháp modulo 3:
Xét các số nguyên tố p theo modulo 3:
Nếu p = 3:
p + 10 = 3 + 10 = 13 (là số nguyên tố).
p + 14 = 3 + 14 = 17 (là số nguyên tố).
Vậy p = 3 là một giá trị thỏa mãn.
Nếu p chia 3 dư 1 (p = 3k + 1):
p + 14 = 3k + 1 + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5).
Vì p + 14 > 3 và chia hết cho 3 nên p + 14 là hợp số.
Nếu p chia 3 dư 2 (p = 3k + 2):
p + 10 = 3k + 2 + 10 = 3k + 12 = 3(k + 4).
Vì p + 10 > 3 và chia hết cho 3 nên p + 10 là hợp số.
Kết luận:
Giá trị duy nhất của số nguyên tố p thỏa mãn điều kiện đề bài là p = 3.