Chứng minh rằng:
Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Question

Huycindy · Accepted Answer

Gọi hai số tự nhiên liên tiếp đó là $n$ và $n + 1$ với $n \in \mathbb{N}^*$.
Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $n$ và $n + 1$.
Ta có:
$\begin{cases} n \,\,\vdots \,\, d \ (n + 1) \,\,\vdots \,\, d \end{cases}$
$(n + 1) - n \,\,\vdots \,\, d$
$1 \,\,\vdots \,\, d$
$d = 1$
Vì ước chung lớn nhất của $n$ và $n + 1$ bằng $1$ nên $n$ và $n + 1$ là hai số nguyên tố cùng nhau.
Vậy hai số tự nhiên liên tiếp (khác $0$) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Timi · Answer

Để chứng minh rằng hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần hiểu rõ khái niệm về số nguyên tố và số nguyên tố cùng nhau.

**Khái niệm:**
- Hai số a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ước số chung lớn nhất (ƯCLN) của chúng là 1, tức là không có ước số nào lớn hơn 1 chia hết cho cả a và b.

**Chứng minh:**
Giả sử hai số tự nhiên liên tiếp là $ n $ và $ n+1 $, trong đó $ n $ là một số tự nhiên khác 0.

- Xét ƯCLN của $ n $ và $ n+1 $.
- Giả sử có một ước số chung lớn hơn 1, tức là có một số nguyên dương $ d > 1 $ chia hết cho cả $ n $ và $ n+1 $.
- Khi đó, $ d $ phải chia hết cho $ n+1 - n = 1 $.
- Điều này dẫn đến một mâu thuẫn, vì không có số nguyên dương nào lớn hơn 1 có thể chia hết cho 1.

Do đó, $ d $ không thể lớn hơn 1. Vậy ƯCLN của $ n $ và $ n+1 $ là 1.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng hai số tự nhiên liên tiếp $ n $ và $ n+1 $ là hai số nguyên tố cùng nhau.

**Kết luận:** Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Chứng minh rằng: Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là hai số nguyên tố cùng nhau.