Một vật dao động điều hòa với A = 5 cm.

Tại thời điểm nào động năng bằng thế năng?

Question

Một vật dao động điều hòa với A = 5 cm.

Tại thời điểm nào động năng bằng thế năng?

rip_indra · Accepted Answer

Timi · Answer

Cho vật dao động điều hòa với biên độ $ A = 5 \text{ cm} $.

Gọi $ x $ là li độ của vật tại một thời điểm bất kỳ.

Cơ năng toàn phần của vật là:
$$
E = \frac{1}{2} k A^2
$$

Tại vị trí $ x $, thế năng là:
$$
W_t = \frac{1}{2} k x^2
$$

Động năng là:
$$
W_d = E - W_t = \frac{1}{2} k A^2 - \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)
$$

Yêu cầu: động năng bằng thế năng, tức là:
$$
W_d = W_t
$$

Thay vào ta có:
$$
\frac{1}{2} k (A^2 - x^2) = \frac{1}{2} k x^2
$$

Rút gọn:
$$
A^2 - x^2 = x^2 \implies A^2 = 2 x^2 \implies x^2 = \frac{A^2}{2} \implies x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}} = \pm \frac{5}{\sqrt{2}} \text{ cm} \approx \pm 3.54 \text{ cm}
$$

Li độ $ x $ tại thời điểm động năng bằng thế năng là khoảng $\pm 3.54 \text{ cm}$.

---

Tiếp theo, ta tìm thời điểm tương ứng.

Li độ trong dao động điều hòa là:
$$
x = A \cos(\omega t + \varphi)
$$

Giả sử ban đầu chọn pha ban đầu sao cho $ \varphi = 0 $, thì:
$$
\cos(\omega t) = \frac{x}{A} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}
$$

Từ đó:
$$
\omega t = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
$$

Vì $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ tại $\theta = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi$

Như vậy, các thời điểm động năng bằng thế năng là:
$$
t = \frac{\pm \pi/4 + 2k\pi}{\omega} \quad (k \in \mathbb{Z})
$$

---

**Kết luận:**

- Động năng bằng thế năng khi li độ:
$$
x = \pm \frac{5}{\sqrt{2}} \text{ cm} \approx \pm 3.54 \text{ cm}
$$

- Tại các thời điểm:
$$
t = \frac{\pi}{4 \omega} + \frac{2k\pi}{\omega} \quad \text{và} \quad t = \frac{7\pi}{4 \omega} + \frac{2k\pi}{\omega}, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

(trong đó $\omega$ là tần số góc của dao động).