« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $9$
$...$ Bài 8. Giải phương trình: $x^3+3x^2-15x+11=\frac{(x^2+5x-12)^2}4.$

Question

« CÂU HỎI 
Toán Học · Lớp $9$ 
$...$ Bài 8. Giải phương trình: $x^3+3x^2-15x+11=\frac{(x^2+5x-12)^2}4.$

Huycindy · Accepted Answer

$x^3 + 3x^2 - 15x + 11 = \dfrac{(x^2 + 5x - 12)^2}{4}$
$4x^3 + 12x^2 - 60x + 44 = (x^2 + 5x - 12)^2$
$4x^3 + 12x^2 - 60x + 44 = x^4 + 10x^3 + x^2 - 120x + 144$
$x^4 + 6x^3 - 11x^2 - 60x + 100 = 0$
$(x^2 + 3x)^2 - 2 . 10 . (x^2 + 3x) + 100 = 0$
$(x^2 + 3x - 10)^2 = 0$
$x^2 + 3x - 10 = 0$
$\left[ \begin{aligned} x &= 2 \ x &= -5 \end{aligned} ight.$

Timi · Answer

Để giải phương trình $ x^3 + 3x^2 - 15x + 11 = \frac{(x^2 + 5x - 12)^2}{4} $, trước hết, chúng ta sẽ nhân cả hai vế của phương trình với $ 4 $ để loại bỏ mẫu:

$$
4(x^3 + 3x^2 - 15x + 11) = (x^2 + 5x - 12)^2.
$$

Khi nhân, chúng ta có:

$$
4x^3 + 12x^2 - 60x + 44 = (x^2 + 5x - 12)(x^2 + 5x - 12).
$$

Tiến hành khai triển vế bên phải:

$$
(x^2 + 5x - 12)(x^2 + 5x - 12) = x^4 + 10x^3 + 25x^2 - 24x^2 - 120x + 144 = x^4 + 10x^3 + x^2 - 120x + 144.
$$

Thay vào phương trình, chúng ta có:

$$
4x^3 + 12x^2 - 60x + 44 = x^4 + 10x^3 + x^2 - 120x + 144.
$$

Sắp xếp lại mọi hạng tử về một bên:

$$
0 = x^4 + 10x^3 + x^2 - 120x + 144 - 4x^3 - 12x^2 + 60x - 44.
$$

Gom nhóm lại:

$$
0 = x^4 + (10x^3 - 4x^3) + (1x^2 - 12x^2) + (-120x + 60x) + (144 - 44).
$$

Chúng ta có:

$$
0 = x^4 + 6x^3 - 11x^2 - 60x + 100.
$$

Bây giờ, ta có một đa thức bậc 4 cần giải. Để tìm nghiệm của đa thức này, chúng ta có thể thử nghiệm với các giá trị nguyên (0, ±1, ±2, ±3, ...).

Khi thử nghiệm với các giá trị, ta tìm được rằng $ x = 2 $ là một nghiệm:

$$
2^4 + 6(2^3) - 11(2^2) - 60(2) + 100 = 16 + 48 - 44 - 120 + 100 = 0.
$$

Ta sẽ sử dụng phép chia đa thức để phân tích đa thức này thành tích của một đa thức bậc thấp hơn:

Sử dụng phép chia synthetic hoặc long division chia $ x^4 + 6x^3 - 11x^2 - 60x + 100 $ cho $ x - 2 $:

Kết quả sẽ là:

$$
x^4 + 6x^3 - 11x^2 - 60x + 100 = (x - 2)(x^3 + 8x^2 + 5x - 50).
$$

Tiếp theo, chúng ta giải phương trình bậc 3 còn lại $ x^3 + 8x^2 + 5x - 50 = 0 $.

Thử nghiệm tiếp với $ x = 2 $:

$$
2^3 + 8(2^2) + 5(2) - 50 = 8 + 32 + 10 - 50 = 0.
$$

Kết quả, $ x = 2 $ lại là một nghiệm. Sử dụng phương pháp chia đa thức tiếp theo:

$$
x^3 + 8x^2 + 5x - 50 = (x - 2)(x^2 + 10x + 25).
$$

Giải phương trình bậc 2 $ x^2 + 10x + 25 = 0 $:

Sử dụng công thức nghiệm:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm \sqrt{0}}{2} = -5.
$$

Vậy, chúng ta có ba nghiệm của phương trình:

$$
x = 2, \quad x = 2, \quad x = -5.
$$

Tóm lại, các nghiệm của phương trình là:

$$
\boxed{2 \text{ (nhiệm kép)}; -5}.
$$

Ninh Hoàng · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

$$x^3+3x^2-15x+11=\frac{\left(x^2+5x-12 ight)^2}{4}$$

$$4\left(x^3+3x^2-15x+11 ight)=\left(x^2+5x-12 ight)^2$$

$$4\left(x-1 ight)\left(x^2+4x-11 ight)=\left\lbrack\left(x^2+4x-11 ight)+\left(x-1 ight) ight brack^2$$

Đặt $$\begin{cases}u=x-1 \ v=x^2+4x-11\end{cases}$$, ta có:

$$4uv=\left(v+u ight)^2$$

$$4uv=v^2+2uv+u^2$$

$$v^2-2uv+u^2=0$$

$$\left(v-u ight)^2=0$$

$$v-u=0$$

$$v=u$$

Suy ra: $$x^2+4x-11=x-1$$

$$x^2+3x-10=0$$

$$\left(x-2 ight)\left(x+5 ight)=0$$

$$\left[\begin{matrix}x=2 \ x=-5\end{matrix} ight.$$

Vậy $$S=\left\lbrace-5;2 ight brace.$$

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $9$ $...$