Giúp mình với!

Câu a: Chứng minh $\triangle MBC \sim \triangle NDC$

Xét hai tam giác $\triangle MBC$ và $\triangle NDC$:

$\widehat{BMC} = \widehat{DNC} = 90^\circ$ (do $M, N$ lần lượt là hình chiếu của $C$ trên các đường thẳng $AB, AD$).

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\widehat{ABC} = \widehat{ADC}$.

Lại có:

$\widehat{MBC} = 180^\circ - \widehat{ABC}$

$\widehat{NDC} = 180^\circ - \widehat{ADC}$

Suy ra $\widehat{MBC} = \widehat{NDC}$.

Xét $\triangle MBC$ và $\triangle NDC$ có:

$\widehat{BMC} = \widehat{DNC} = 90^\circ$

$\widehat{MBC} = \widehat{NDC}$

Do đó $\triangle MBC \sim \triangle NDC$ (g.g).

Câu b: Chứng minh $CM \cdot CD = AC \cdot KD$

Lưu ý: Đề bài yêu cầu chứng minh $CM \cdot CD = AC \cdot KD$ (hoặc $CK \cdot CD$). Xét các tam giác đồng dạng liên quan đến hình chiếu $K$ của $D$ trên $AC$:

Xét $\triangle DKC$ và $\triangle CMA$:

$\widehat{DKC} = \widehat{CMA} = 90^\circ$ (vì $DK \perp AC$ và $CM \perp AB$).

Do $AB \parallel CD$ nên $\widehat{CAM} = \widehat{ACD}$ (hai góc so le trong).

Suy ra $\triangle DKC \sim \triangle CMA$ (g.g).

Từ đây ta có tỉ số đồng dạng:

$\frac{DK}{CM} = \frac{CD}{AC}$

Nhân chéo hai vế:

$CM \cdot CD = AC \cdot DK$

Câu c: Chứng minh $AC^2 = AD \cdot AN + AB \cdot AM$

(Lưu ý: Trong câu c của đề bài ghi $AB^2 = AD \cdot AN + AB \cdot AM$, đây là sơ suất đánh máy phổ biến của bài toán này; vế trái đúng là $AC^2$)

Xét $\triangle AKD$ và $\triangle ANC$:

$\widehat{AKD} = \widehat{ANC} = 90^\circ$ ($DK \perp AC, CN \perp AD$).

Góc $\widehat{DAC}$ chung ($\widehat{KAD} = \widehat{NAC}$).

Suy ra $\triangle AKD \sim \triangle ANC$ (g.g).

Tỉ số đồng dạng:

$\frac{AK}{AN} = \frac{AD}{AC} \implies AD \cdot AN = AC \cdot AK \quad (1)$

Xét $\triangle CIB$ và $\triangle CMA$:

$\widehat{CIB} = \widehat{CMA} = 90^\circ$ ($BI \perp AC, CM \perp AB$).

$\widehat{CAB}$ chung ($\widehat{IAB} = \widehat{MAC}$).

Suy ra $\triangle CIB \sim \triangle CMA$ (g.g).

Mặt khác, dễ dàng chứng minh $\triangle CIB = \triangle AKD$ (hoặc $\triangle CIB \sim \triangle AKD \implies CIB$ đồng dạng tương ứng), suy ra $CI = AK$ và $AI = KC$.

Do đó:

$\triangle CIB \sim \triangle CMA \implies \frac{CI}{CM} = \frac{CB}{CA} \implies \frac{KC}{CM} = \frac{AB}{AC} \quad (\text{vì } BC = AD \text{ và } CI = KC)$

Hoặc xét trực tiếp $\triangle CKD \sim \triangle CMA$ (như câu b) ta có $\frac{KC}{AM} = \frac{CD}{AC} = \frac{AB}{AC}$:

$\implies AB \cdot AM = AC \cdot KC \quad (2)$

Cộng từng vế $(1)$ và $(2)$:

$AD \cdot AN + AB \cdot AM = AC \cdot AK + AC \cdot KC = AC \cdot (AK + KC) = AC \cdot AC = AC^2$

Vậy $AC^2 = AD \cdot AN + AB \cdot AM$.

Câu d: Chứng minh $S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin \widehat{BAD}$

Hạ đường cao $BH \perp AD$ ($H \in AD$) của hình bình hành $ABCD$.

Diện tích hình bình hành $ABCD$:

$S_{ABCD} = BH \cdot AD$

Xét tam giác vuông $ABH$ vuông tại $H$:

$\sin \widehat{BAH} = \frac{BH}{AB} \implies BH = AB \cdot \sin \widehat{BAH}$

Vì $\widehat{BAH}$ chính là góc $\widehat{BAD}$, thay $BH$ vào công thức diện tích:

$S_{ABCD} = (AB \cdot \sin \widehat{BAD}) \cdot AD = AB \cdot AD \cdot \sin \widehat{BAD}$