Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Đặt $n = 2026$. Bảng ô vuông có kích thước $n \times n$.

Xét cách chọn $k$ ô tô màu ban đầu:

Với mỗi hàng $i$ ($1 \le i \le n$), gọi $u_i$ là ô chứa số nhỏ nhất trong hàng đó.

Với mỗi cột $j$ ($1 \le j \le n$), gọi $v_j$ là ô chứa số lớn nhất trong cột đó.

Nhận xét:

Ô chứa số $1$ vừa là ô nhỏ nhất của hàng chứa nó, vừa là ô nhỏ nhất của cột chứa nó.

Do đó ô chứa số $1$ thuộc tập $\{u_1, u_2, \dots, u_n\}$.

Mặt khác, ô chứa số $1$ không thể là ô lớn nhất của bất kỳ cột nào do $n > 1$.

Suy ra hai tập $\{u_1, u_2, \dots, u_n\}$ và $\{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ giao nhau ít nhất tại ô chứa số $1$.

Tô màu ban đầu tập hợp các ô $S = \{u_1, u_2, \dots, u_n\} \cup \{v_1, v_2, \dots, v_n\}$.

Số lượng ô trong tập $S$ thỏa mãn:

$k = \vert{}S\vert{} \le n + n - 1 = 2n - 1$

Khi tô màu tập $S$:

Mỗi hàng $i$ có ô $u_i$ nhỏ nhất đã được tô màu, nên mọi ô $a$ khác trong hàng đều có $a > u_i$, do đó toàn bộ ô trong hàng $i$ sẽ được tô màu.

Mỗi cột $j$ có ô $v_j$ lớn nhất đã được tô màu, nên mọi ô $a$ khác trong cột đều có $a < v_j$, do đó toàn bộ ô trong cột $j$ sẽ được tô màu.

Như vậy tất cả các ô trong bảng đều được tô màu.

Mặt khác, xét cách điền số đặc biệt:

Xếp các số sao cho ô chứa số $1$ nằm tại $(1,1)$, các ô $u_i$ và $v_j$ chỉ giao nhau duy nhất tại ô chứa số $1$.

Một ô $u_i$ là nhỏ nhất trong hàng nên không thể tô màu nhờ ô khác cùng hàng.

Một ô $v_j$ là lớn nhất trong cột nên không thể tô màu nhờ ô khác cùng cột.

Do đó các ô trong tập $S$ không thể được tô màu gián tiếp từ bất kỳ ô nào ngoài $S$.

Muốn tô màu toàn bộ bảng thì tất cả các ô trong $S$ phải được tô màu ban đầu.

Do đó:

$k \ge \vert{}S\vert{} = 2n - 1$

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của $k$ là:

$k = 2n - 1$

$k = 2 \cdot 2026 - 1$

$k = 4051$