« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $8$ Tính cạnh của hình lập phương Từ một khối lập phương có cạnh bằng $2x-1(cm),$ người ta cắt bỏ một khối lập phương có cạnh bằng,$2x-3(cm).$ Biết rằng thể tích còn lại của hình lập phương sau khi cắt là $26~cm^3.$,

Question

« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $8$
Tính cạnh của hình lập phương Từ một khối lập phương có cạnh bằng $2x-1(cm),$ người ta cắt bỏ một khối lập phương có cạnh bằng,$2x-3(cm).$ Biết rằng thể tích còn lại của hình lập phương sau khi cắt là $26~cm^3.$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/9af0a7fa45084d71bd3e6622361a43d1.jpg />

cute · Accepted Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Bước 1: Điều kiện của $x$Độ dài các cạnh phải lớn hơn 0:$2x - 1 > 0 \Rightarrow x > 0,5$$2x - 3 > 0 \Rightarrow x > 1,5$Vậy điều kiện là $x > 1,5$.Bước 2: Thiết lập phương trình thể tíchThể tích khối lập phương lớn ban đầu là:$V_{1}=(2x-1)^{3}$Thể tích khối lập phương nhỏ bị cắt đi là:$V_{2}=(2x-3)^{3}$Thể tích còn lại là $26\text{ cm}^3$, ta có phương trình:$(2x-1)^{3}-(2x-3)^{3}=26$Bước 3: Giải phương trìnhĐặt $a = 2x - 1$ và $b = 2x - 3$. Ta thấy $a - b = (2x - 1) - (2x - 3) = 2$.Áp dụng hằng đẳng thức $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, phương trình trở thành:$2\cdot [(2x-1)^{2}+(2x-1)(2x-3)+(2x-3)^{2}]=26$$(2x-1)^{2}+(2x-1)(2x-3)+(2x-3)^{2}=13$Khai triển các biểu thức bên trong:$(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$$(2x - 1)(2x - 3) = 4x^2 - 8x + 3$$(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$Cộng các vế lại với nhau:$(4x^{2}-4x+1)+(4x^{2}-8x+3)+(4x^{2}-12x+9)=13$$12x^{2}-24x+13=13$$12x^{2}-24x=0$$12x(x-2)=0$Ta tìm được hai nghiệm là $x = 0$ hoặc $x = 2$.Bước 4: Kết luậnĐối chiếu với điều kiện $x > 1,5$, ta loại nghiệm $x = 0$ và nhận nghiệm $x = 2$.Vậy $x = 2$.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, trước tiên ta cần tính thể tích của hai khối lập phương.

1. **Thể tích của khối lập phương lớn (cạnh $2x-1$ cm):**
   $$
   V_{lớn} = (2x - 1)^3
   $$

2. **Thể tích của khối lập phương nhỏ (cạnh $2x-3$ cm):**
   $$
   V_{nhỏ} = (2x - 3)^3
   $$

3. **Thể tích còn lại sau khi cắt:**
   Theo đề bài, thể tích còn lại là $26~cm^3$.
   $$
   V_{còn lại} = V_{lớn} - V_{nhỏ} = 26
   $$
   Do đó, ta có:
   $$
   (2x - 1)^3 - (2x - 3)^3 = 26
   $$

4. **Áp dụng công thức hiệu của hai lập phương:**
   $$
   a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
   $$
   với $ a = 2x - 1 $ và $ b = 2x - 3 $. Tính $ a - b $:
   $$
   a - b = (2x - 1) - (2x - 3) = 2
   $$

5. **Tính $ a^2 + ab + b^2 $:**
   - Tính $ a^2 $:
   $$
   a^2 = (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1
   $$
   - Tính $ b^2 $:
   $$
   b^2 = (2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9
   $$
   - Tính $ ab $:
   $$
   ab = (2x - 1)(2x - 3) = 4x^2 - 6x - 2x + 3 = 4x^2 - 8x + 3
   $$

Bây giờ, cộng tất cả lại:
   $$
   a^2 + ab + b^2 = (4x^2 - 4x + 1) + (4x^2 - 8x + 3) + (4x^2 - 12x + 9)
   $$
   $$
   = 12x^2 - 24x + 13
   $$

6. **Thay vào phương trình:**
   $$
   2(12x^2 - 24x + 13) = 26
   $$
   $$
   12x^2 - 24x + 13 = 13
   $$
   $$
   12x^2 - 24x = 0
   $$
   $$
   12x(x - 2) = 0
   $$

Giải phương trình này, ta có:
   $$
   x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2
   $$

7. **Lấy giá trị dương:**
   Vì chiều dài cạnh không thể âm, ta chọn $ x = 2 $.

8. **Tính cạnh của khối lập phương lớn:**
   $$
   Cạnh = 2x - 1 = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3~cm
   $$

Vậy cạnh của hình lập phương là $ 3~cm $.