« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $8$ $...$

Để giải bài tập này, chúng ta sẽ làm từng phần một. ### Phần a: Tính giá trị biểu thức \( A = (1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})(1 - \frac{1}{4^2}) \cdots (1 - \frac{1}{2025^2}) \). Chúng ta có: \[ 1 - \frac{1}{n^2} = \frac{n^2 - 1}{n^2} = \frac{(n-1)(n+1)}{n^2} \] Vậy biểu thức \( A \) có thể được viết lại như sau: \[ A = \prod_{n=2}^{2025} \frac{(n-1)(n+1)}{n^2} \] Khi mở rộng tích này, ta có: \[ A = \frac{(1 \cdot 3)(2 \cdot 4)(3 \cdot 5) \cdots (2024 \cdot 2026)}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2 \cdots 2025^2} \] Chúng ta thấy rằng tử số có thể được viết thành: \[ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 2024 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 2026 = (2025!)^2 \] Và mẫu số là: \[ (2 \cdot 3 \cdots 2025)^2 = (2025!)^2 \] Nên ta có: \[ A = \frac{1 \cdot 3 \cdot 2 \cdots 2024 \cdot 2026}{(2 \cdot 3 \cdots 2025)^2} = \frac{1 \cdot 3}{2} = \frac{3}{2} \] **Kết quả phần a:** \[ A = \frac{3}{2} \] ### Phần b: Tính giá trị biểu thức \( B = \frac{1}{2^2-1} + \frac{1}{4^2-1} + \frac{1}{6^2-1} + \cdots + \frac{1}{100^2-1} \). Chúng ta biết rằng: \[ B = \sum_{k=1}^{50} \frac{1}{(2k)^2 - 1} = \sum_{k=1}^{50} \frac{1}{4k^2 - 1} = \sum_{k=1}^{50} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} \] Sử dụng phân tích thành phần riêng, ta có: \[ \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) \] Vì vậy, biểu thức B trở thành: \[ B = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{50} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) \] Chuỗi này sẽ rút gọn thành: \[ B = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{101} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{100}{101} = \frac{50}{101} \] **Kết quả phần b:** \[ B = \frac{50}{101} \] ### Phần c: Tính giá trị biểu thức \( C = \frac{1}{1^2+2^2-3^2}+\frac{1}{2^2+3^2-5^2}+\frac{1}{3^2+4^2-7^2}+\cdots+\frac{1}{99^2+100^2-199^2} \). Mỗi phần trong chuỗi có dạng: \[ n^2 + (n+1)^2 - (2n+1)^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 - (4n^2 + 4n + 1) = -2n^2 - 2n \] Vậy: \[ C = \sum_{n=1}^{99} \frac{1}{-2n(n+1)} = -\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{99} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \] Chuỗi này là một chuỗi telescoping: \[ = -\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{100} \right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{99}{100} = -\frac{99}{200} \] **Kết quả phần c:** \[ C = -\frac{99}{200} \] ### Tóm tắt kết quả: - Phần a: \( A = \frac{3}{2} \) - Phần b: \( B = \frac{50}{101} \) - Phần c: \( C = -\frac{99}{200} \)