Giúp mình với! Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có $AB=12~cm,~BC=5~cm.$,Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc,một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.,

Question

Giúp mình với! Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có $AB=12~cm,~BC=5~cm.$,Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc,một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/2dfedccfd06a49ab9e2edf1922234640.jpg />

Tedluzy · Accepted Answer

{"userId":5430226,"userName":"Chí Đức Phạm"}

$3,$

Theo tính chất của hình chữ nhật, ta có: $$AC=BD$$ (Hai đường chéo hình chữ nhật $ABCD$)

Mà trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên:

$$OA=OC=\frac{1}{2}AC$$

$$OB=OD=\frac{1}{2}BD$$

$$\Rightarrow OA=OB=OC=OD$$

$$\Rightarrow4$$ điểm trên cùng thuộc đường tròn tâm $O$ bán kính $OA$. $(1)$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông $ABD$ vuông tại $A$ có:

$$AB^2+AD^2=BD^2$$

hay $$12^2+5^2=169$$

$$\Rightarrow BD=\sqrt{169}=13$$ $(cm)$

Bán kính $R$ của đường tròn trên là:

$$R=\frac{BD}{2}=\frac{13}{2}=6,5\left(cm\right)$$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta được điều phải chứng minh.

Timi · Answer

Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng định lý về hình chữ nhật. Hình chữ nhật có tính chất là tất cả các góc đều bằng 90 độ. Do đó, ta có thể sử dụng trung điểm của đường chéo để chứng minh rằng chúng nằm trên một đường tròn.

1. **Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn:**
   - Đặt O là trung điểm của đường chéo AC và BD. 
   - Vì ABCD là hình chữ nhật, ta có AC và BD là hai đường chéo của hình chữ nhật, chúng cắt nhau tại O và O là trung điểm của cả hai đường chéo.
   - Theo định lý đường tròn, nếu ba điểm A, B, C thuộc một đường tròn thì điểm D cũng nằm trên đường tròn đó nếu O là trung điểm của AC và BD. 
   - Do đó, bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

2. **Tính bán kính của đường tròn:**
   - Đầu tiên, ta tính độ dài của đường chéo AC (hoặc BD) bằng công thức:
     $$
     AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13~cm.
     $$
   - Bán kính R của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D bằng nửa độ dài của đường chéo:
     $$
     R = \frac{AC}{2} = \frac{13}{2} = 6.5~cm.
     $$

**Kết luận:**
Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn và bán kính của đường tròn đó là $6.5~cm$.