Giúp mình với! Bài 5: Cho đường tròn $(O;3~cm).$ Điểm $A\in(O).$ Đường thẳng d,,vuông góc với OA tại trung điểm của OA cắt đường tròn (O),tại B và C.,a) Chứng minh rằng AOAB là tam giác đều.,b) Tính độ dài đoạn BC.

Question

Giúp mình với! Bài 5: Cho đường tròn $(O;3~cm).$ Điểm $A\in(O).$ Đường thẳng d,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/c661c33a083e472fb148ca3e7be45f10.jpg />,vuông góc với OA tại trung điểm của OA cắt đường tròn (O),tại B và C.,a) Chứng minh rằng AOAB là tam giác đều.,b) Tính độ dài đoạn BC.

Vu Nguyen · Accepted Answer

Gọi $\displaystyle H = OA \cap d$.

a)
Ta có: $\displaystyle B \in d$, $\displaystyle d$ là đường trung trực của $\displaystyle OA$
$\Rightarrow \displaystyle BA = BO$
Mà $\displaystyle BO = OA = R$
$\Rightarrow \displaystyle OA = OB = AB$
$\Rightarrow \displaystyle \Delta OAB$ đều

b)
$\displaystyle H$ là trung điểm $\displaystyle OA \Rightarrow \displaystyle OH = \frac{OA}{2} = \frac{3}{2}$ (cm)
Xét $\displaystyle \Delta OHB$ vuông tại $\displaystyle H$:
$\displaystyle BH = \sqrt{OB^2 - OH^2} = \sqrt{3^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ (cm)
Đường kính $\displaystyle OA \perp$ dây $\displaystyle BC$ tại $\displaystyle H$
$\Rightarrow \displaystyle H$ là trung điểm $\displaystyle BC$.
$\Rightarrow \displaystyle BC = 2BH = 2 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ (cm)

Timi · Answer

Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

### a) Chứng minh rằng AOAB là tam giác đều.

1. **Gọi O là tâm đường tròn, A là một điểm trên đường tròn, và d là đường thẳng vuông góc với OA tại trung điểm M của OA.** 
   - Theo định nghĩa, OA là bán kính của đường tròn, nên OA = 3 cm.

2. **Xét điểm M, trung điểm của OA, thì:**
   $$
   AM = MO = \frac{OA}{2} = \frac{3}{2} \text{ cm}
   $$

3. **Đường thẳng d vuông góc với OA tại M.**
   - Điều này có nghĩa là góc OMA = 90 độ.

4. **Ta có tam giác OAB, trong đó:**
   - OA = 3 cm
   - OB = OC (vì B và C là hai điểm cắt nhau trên đường tròn và nằm đối xứng qua đường thẳng d).

5. **Tính độ dài OB và OC:**
   - Do O là tâm đường tròn và B, C là hai điểm trên đường tròn, ta có OB = OC = 3 cm.

6. **Xét tam giác OAB:**
   - Chúng ta đã có:
     - OA = OB = 3 cm.
     - Góc OMA = 90 độ.
   - Do đó, tam giác OAB là tam giác vuông tại M và có hai cạnh bằng nhau, vậy AOAB là tam giác đều.

### b) Tính độ dài đoạn BC.

1. **Để tính BC, ta sẽ sử dụng hình học:**
   - Trong tam giác OAB, góc OMB = góc OMC = 90 độ.
   - B và C là hai điểm cắt đường tròn ở hai phía của M.

2. **Dùng định lý Pythagore trong tam giác OMB:**
   - Gọi OB = OC = 3 cm.
   - OM = 1.5 cm (trung điểm).
   - Ta có:
   $$
   MB^2 = OB^2 - OM^2
   $$
   $$
   MB^2 = 3^2 - 1.5^2 = 9 - 2.25 = 6.75
   $$
   $$
   MB = \sqrt{6.75} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ cm}
   $$

3. **Vì BC là đoạn thẳng nối B và C, nên:**
   $$
   BC = MB + MC = 2 \times MB = 2 \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ cm}
   $$

### Kết luận
- a) Tam giác AOAB là tam giác đều.
- b) Độ dài đoạn BC là $ 3\sqrt{3} $ cm.