Giúp mình với! Bài IV(6 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, $AB

Question

Giúp mình với! Bài IV(6 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, $AB<AC.$ Gọi E trung điểm của cạnh,AC. Gọi hình chiếu vuông góc của E trên BC là H. Đường thẳng EH cắt đường thẳng AB tại,M. Đường thẳng BE cắt CM tại K. Vẽ D đối xứng với E qua A. Kẻ DQ vuông góc với CM.,Gọi AC cắt HK tại J,a) Chứng minh rằng: $\widehat{CKH}=\widehat{CBA}$ và HK song song với AQ

Timi · Accepted Answer

Để chứng minh rằng $\widehat{CKH} = \widehat{CBA}$ và HK song song với AQ, ta sẽ tiến hành theo các bước như sau:

1. **Gọi các điểm và các góc:**
   - Gọi $ \angle CBA = \alpha $.
   - Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có $ \angle CAB = 90^\circ - \alpha $ và $ \angle ABC = 90^\circ $.

2. **Chứng minh rằng $\widehat{CKH} = \widehat{CBA}$:**
   - Bởi vì $E$ là trung điểm của cạnh $AC$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $E$ trên $BC$, nên $EH \perp BC$.
   - Khi đó, từ tam giác $BCH$, ta có: 
     $$
     \widehat{EHB} = 90^\circ
     $$
   - Vậy trong tam giác $CKH$, ta có $ \widehat{CKH} = \widehat{EHB} = 90^\circ - \widehat{CBA} = 90^\circ - \alpha $.
   - Do đó, $ \widehat{CKH} = \widehat{CBA} $.

3. **Chứng minh rằng HK song song với AQ:**
   - Ta đã chứng minh được $ \widehat{CKH} = \widehat{CBA} $.
   - Mặt khác, theo tính chất của các góc đồng vị, nếu hai góc đồng vị bằng nhau, thì hai đường thẳng bị cắt bởi một đường thẳng sẽ song song với nhau.
   - Ở đây, đường thẳng $HK$ cắt đường thẳng $AB$ tại điểm $K$ và góc $CKH$ tương ứng với góc $CBA$, nên:
     $$
     HK \parallel AQ
     $$

Vậy ta đã chứng minh rằng $\widehat{CKH} = \widehat{CBA}$ và HK song song với AQ.