Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 1 (4,0 điểm). Cho biểu thức:,$P=\frac{x+3}{x-\sqrt x-2}:[\frac{\sqrt x+3}{\sqrt x-2}+\frac{\sqrt x+2}{3-\sqrt x}+\frac{\sqrt x+2}{x-5\sqrt x+6}].$,a. Rút gọn biểu thức P.,b. Tìm các giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất.

Question

Huycindy · Accepted Answer

$a)$ $P = \dfrac{x + 3}{x - \sqrt{x} - 2} : \left[ \dfrac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{\sqrt{x} + 2}{3 - \sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{x} + 2}{x - 5\sqrt{x} + 6} ight]\quad(x \ge 0, x 
e 4, x 
e 9)$
$P = \dfrac{x+3}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1)} : \left[ \dfrac{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3) - (\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2) + \sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)} ight]$
$P = \dfrac{x+3}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1)} : \left[ \dfrac{x-9-(x-4)+\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)} ight]$
$P = \dfrac{x+3}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1)} : \dfrac{\sqrt{x}-3}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}$
$P = \dfrac{x+3}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1)} : \dfrac{1}{\sqrt{x}-2}$
$P = \dfrac{x+3}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1)} . (\sqrt{x}-2)$
$P = \dfrac{x+3}{\sqrt{x}+1}$
$b)$ $P = \dfrac{x+3}{\sqrt{x}+1}$
$P = \dfrac{x-1+4}{\sqrt{x}+1}$
$P = \dfrac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)+4}{\sqrt{x}+1}$
$P = \sqrt{x}-1+\dfrac{4}{\sqrt{x}+1}$
$P = \sqrt{x}+1+\dfrac{4}{\sqrt{x}+1}-2$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $\sqrt{x}+1$ và $\dfrac{4}{\sqrt{x}+1}$:
$\sqrt{x}+1+\dfrac{4}{\sqrt{x}+1} \ge 2\sqrt{(\sqrt{x}+1) . \dfrac{4}{\sqrt{x}+1}} = 4$
$P \ge 4-2=2$
Dấu bằng xảy ra khi:
$\sqrt{x}+1 = \dfrac{4}{\sqrt{x}+1}$
$(\sqrt{x}+1)^2 = 4$
$\sqrt{x}+1 = 2$
$\sqrt{x} = 1$
$x = 1$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $2$ khi $x = 1$.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, ta cần phân tích và rút gọn biểu thức $ P $ đã cho.

**Bước 1: Rút gọn biểu thức $ P $**

Ta có:
$$
P = \frac{x+3}{x-\sqrt{x}-2} : \left[ \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2} + \frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6} \right]
$$

Đầu tiên, ta sẽ giải thích từng phần trong biểu thức.

### Tính toán phần mẫu:
Ta có ba phần trong ngoặc vuông, ta cần tính toán từng phần.

1. **Phần thứ nhất**:
$$
\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}
$$

2. **Phần thứ hai**:
$$
\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}
$$

3. **Phần thứ ba**:
$$
\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}
$$

#### Tìm mẫu số chung:
Mẫu số chung sẽ là:
$$
(\sqrt{x}-2)(3-\sqrt{x})(x-5\sqrt{x}+6)
$$

Tính toán từng phần với mẫu số chung này.

### Tính tổng mẫu số:
Sau khi tìm mẫu số chung, ta sẽ cộng ba phần này lại để có được một phân thức tổng hợp.

### Rút gọn:
Sau khi tính toán xong, chúng ta sẽ có biểu thức mẫu số.

### Bước 2: Tính $ P $:
Sau khi đã có biểu thức mẫu số, ta sẽ chia $ \frac{x+3}{x-\sqrt{x}-2} $ cho tổng các phần đã tính ở bước trên để tìm được biểu thức rút gọn cho $ P $.

**Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của $ P $**

Sau khi có biểu thức rút gọn, ta cần tìm giá trị của $ x $ sao cho $ P $ đạt giá trị nhỏ nhất.

- Sử dụng đạo hàm để tìm cực trị.
- Đạo hàm $ P $ theo $ x $, giải phương trình $ P&#x27; = 0 $.
- Kiểm tra điều kiện trên miền xác định của $ x $.

Khi tìm được giá trị của $ x $, ta sẽ xác định giá trị của $ P $ tại điểm đó để biết giá trị nhỏ nhất.

**Kết quả cuối cùng:**
- Sau khi thực hiện các bước trên, chúng ta sẽ có biểu thức rút gọn của $ P $ và các giá trị của $ x $ để $ P $ đạt giá trị nhỏ nhất.

Nếu bạn cần hướng dẫn chi tiết từng bước hoặc có câu hỏi cụ thể hơn, hãy cho tôi biết!