Đáp án $+$ Giải thích Rút gọn biểu thức:,$a)~(x-y)(y+z)(z+x)+(x+y)(y-z)(z+x)+(x+y)(y+z)(z-x)$,$b)~(2x+y)(2y+z)(2z+x)-(2x-y)(2y-z)(2z-x)$

Question

MTrang · Accepted Answer

a) Đặt $A = (x-y)(y+z)(z+x) + (x+y)(y-z)(z+x) + (x+y)(y+z)(z-x)$

Ta khai triển và rút gọn từng tích:

$(x-y)(y+z)(z+x) = (x-y)(yz + x\vert{}y + z^2 + xz) = x^2y + xz^2 + x^2z - y^2z - xy^2 - yz^2$

$(x+y)(y-z)(z+x) = (y-z)(x+y)(z+x) = xy^2 + yz^2 + xy\vert{}z - x^2z - y^2z - xz^2$

$(x+y)(y+z)(z-x) = (z-x)(x+y)(y+z) = yz^2 + y^2z - x^2y - x^2z - xyz - x^2z$ chưa thu gọn tối ưu.

Thực hiện nhân phá ngoặc trực tiếp cho cả ba nhóm:

Nhóm 1:

$(x-y)(y+z)(z+x) = x^2y + xy^2 + x^2z + 2xyz + xz^2 - y^2z - yz^2 - xy^2 - x^2y$

$= x^2z + 2xyz + xz^2 - y^2z - yz^2$

Nhóm 2:

$(x+y)(y-z)(z+x) = xy^2 + y^2z + x^2y + 2xyz + xz^2 - x^2z - xz^2 - yz^2$

$= xy^2 + y^2z + x^2y + 2xyz - x^2z - yz^2$

Nhóm 3:

$(x+y)(y+z)(z-x) = yz^2 + xz^2 + y^2z + 2xyz - x^2y - xy^2 - x^2z - x^2y$

$= yz^2 + xz^2 + y^2z + 2xyz - 2x^2y - xy^2 - x^2z$

Cộng cả ba nhóm lại:

$A = (x^2z + 2xyz + xz^2 - y^2z - yz^2) + (xy^2 + y^2z + x^2y + 2xyz - x^2z - yz^2) + (yz^2 + xz^2 + y^2z + 2xyz - 2x^2y - xy^2 - x^2z)$

Thu gọn các hạng tử đồng dạng:

Hạng tử chứa $xyz$: $2xyz + 2xyz + 2xyz = 6xyz$

Hạng tử chứa $x^2y$: $x^2y - 2x^2y = -x^2y$

Hạng tử chứa $xy^2$: $xy^2 - xy^2 = 0$

Hạng tử chứa $y^2z$: $-y^2z + y^2z + y^2z = y^2z$

Hạng tử chứa $yz^2$: $-yz^2 - yz^2 + yz^2 = -yz^2$

Hạng tử chứa $x^2z$: $x^2z - x^2z - x^2z = -x^2z$

Hạng tử chứa $xz^2$: $xz^2 + xz^2 = 2xz^2$

Vậy $A = 6xyz - x^2y + y^2z - yz^2 - x^2z + 2xz^2$.

b) Đặt $B = (2x+y)(2y+z)(2z+x) - (2x-y)(2y-z)(2z-x)$

Khai triển tích thứ nhất:

$(2x+y)(2y+z)(2z+x) = (4xy + 2xz + 2y^2 + yz)(2z+x)$

$= 8xyz + 4x^2y + 4xz^2 + 2x^2z + 4y^2z + 2xy^2 + 2yz^2 + xyz$

$= 9xyz + 4x^2y + 2xy^2 + 4y^2z + 2yz^2 + 2x^2z + 4xz^2$

Khai triển tích thứ hai:

$(2x-y)(2y-z)(2z-x) = (4xy - 2xz - 2y^2 + yz)(2z-x)$

$= 8xyz - 4x^2y - 4xz^2 + 2x^2z - 4y^2z + 2xy^2 + 2yz^2 - xyz$

$= 7xyz - 4x^2y + 2xy^2 - 4y^2z + 2yz^2 + 2x^2z - 4xz^2$

Lấy tích thứ nhất trừ tích thứ hai:

$B = (9xyz + 4x^2y + 2xy^2 + 4y^2z + 2yz^2 + 2x^2z + 4xz^2) - (7xyz - 4x^2y + 2xy^2 - 4y^2z + 2yz^2 + 2x^2z - 4xz^2)$

$B = (9xyz - 7xyz) + (4x^2y + 4x^2y) + (2xy^2 - 2xy^2) + (4y^2z + 4y^2z) + (2yz^2 - 2yz^2) + (2x^2z - 2x^2z) + (4xz^2 + 4xz^2)$

$B = 2xyz + 8x^2y + 8y^2z + 8xz^2$

Timi · Answer

Xin lỗi, Timi không thể trả lời câu hỏi của bạn, hãy thử lại sau.

Hurricane · Answer

{"userId":5447706,"userName":"Duy Hải"}

$a)$

$A=(x-y)(y+z)(z+x)+(x+y)(y-z)(z+x)+(x+y)(y+z)(z-x)$

$A=(z+x)\left[(x-y)(y+z)+(x+y)(y-z)\right]+(x+y)(y+z)(z-x)$

$A=(z+x)\left[xy+xz-y^2-yz+xy-xz+y^2-yz\right]+(x+y)(y+z)(z-x)$

$A=(z+x)(2xy-2yz)+(x+y)(y+z)(z-x)$

$A=2y(z+x)(x-z)+(x+y)(y+z)(z-x)$

$A=2y(x-z)(z+x)-(x+y)(y+z)(x-z)$

$A=(x-z)\left[2y(z+x)-(x+y)(y+z)\right]$

$A=(x-z)\left[2yz+2xy-xy-xz-y^2-yz\right]$

$A=(x-z)(xy+yz-xz-y^2)$

$A=(x-z)[x(y-z)-y(y-z)]$

$A=(x-z)(y-z)(x-y)$

$b)$

$B=(2x+y)(2y+z)(2z+x)-(2x-y)(2y-z)(2z-x)$

$B=(2x+y)\left(4yz+2zx+2xy+xz\right)-(2x-y)\left(4yz-2zx-2xy+xz\right)$

$B=(2x+y)(4yz+3xz+2xy)-(2x-y)(4yz-xz-2xy)$

$B=\left[2x(4yz+3xz+2xy)+y(4yz+3xz+2xy)\right]-\left[2x(4yz-xz-2xy)-y(4yz-xz-2xy)\right]$

$B=\left[8xyz+6x^2z+4x^2y+4y^2z+3xyz+2xy^2\right]-\left[8xyz-2x^2z-4x^2y-4y^2z+xyz+2xy^2\right]$

$B=\left[11xyz+6x^2z+4x^2y+4y^2z+2xy^2\right]-\left[9xyz-2x^2z-4x^2y-4y^2z+2xy^2\right]$

$B=12x^2z+8x^2y+8y^2z$

Huycindy · Answer

$a)\ (x-y)(y+z)(z+x) + (x+y)(y-z)(z+x) + (x+y)(y+z)(z-x)$
$= (z+x) . \left[ (x-y)(y+z) + (x+y)(y-z) \right] + (x+y)(y+z)(z-x)$
$= (z+x) . (xy + zx - y^2 - yz + xy - xz + y^2 - yz) + (x+y)(y+z)(z-x)$
$= (z+x) . (2xy - 2yz) + (x+y)(y+z)(z-x)$
$= 2y(z+x)(x-z) + (x+y)(y+z)(z-x)$
$= -2y(z+x)(z-x) + (x+y)(y+z)(z-x)$
$= (z-x) . \left[ -2y(z+x) + (x+y)(y+z) \right]$
$= (z-x) . (-2yz - 2xy + xy + zx + y^2 + yz)$
$= (z-x) . (zx + y^2 - xy - yz)$
$= (z-x) . \left[ x(z-y) - y(z-y) \right]$
$= (z-x)(z-y)(x-y)$
$b)\ (2x+y)(2y+z)(2z+x) - (2x-y)(2y-z)(2z-x)$
$= (4xy + 2zx + 2y^2 + yz)(2z+x) - (4xy - 2zx - 2y^2 + yz)(2z-x)$
$= (8xyz + 4x^2y + 4z^2x + 2zx^2 + 4y^2z + 2xy^2 + 2yz^2 + xyz) - (8xyz - 4x^2y - 4z^2x + 2zx^2 - 4y^2z + 2xy^2 + 2yz^2 - xyz)$
$= (9xyz + 4x^2y + 4z^2x + 2zx^2 + 4y^2z + 2xy^2 + 2yz^2) - (7xyz - 4x^2y - 4z^2x + 2zx^2 - 4y^2z + 2xy^2 + 2yz^2)$
$= 9xyz + 4x^2y + 4z^2x + 2zx^2 + 4y^2z + 2xy^2 + 2yz^2 - 7xyz + 4x^2y + 4z^2x - 2zx^2 + 4y^2z - 2xy^2 - 2yz^2$
$= 2xyz + 8x^2y + 8y^2z + 8z^2x$