Đáp án $+$ Giải thích Bài 3. Cho đăng thức,$\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1.$,Chứng minh rằng trong ba phân thức $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac},\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ có hai phân thức bằng 1,,một phân thức bằng -1

Question

đồng đức dũng · Accepted Answer

Quy đồng mẫu thức chung 2abc cho đẳng thức đã cho:

2abca(b2+c2−a2)+b(c2+a2−b2)+c(a2+b2−c2)=1

a(b2+c2−a2)+b(c2+a2−b2)+c(a2+b2−c2)=2abc

ab2+ac2−a3+bc2+ba2−b3+ca2+cb2−c3−2abc=0

Phân tích vế trái thành nhân tử:

(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)=0

Từ đây ta suy ra ba trường hợp:

Trường hợp 1: a+b−c=0, suy ra c=a+b. Thay c=a+b vào từng phân thức:

2aba2+b2−c2=2aba2+b2−(a+b)2=2ab−2ab=−1

2bcb2+c2−a2=2b(a+b)b2+(a+b)2−a2=2b(a+b)2b2+2ab=1

2acc2+a2−b2=2a(a+b)(a+b)2+a2−b2=2a(a+b)2a2+2ab=1

Trường hợp 2: b+c−a=0, suy ra a=b+c. Tương tự, ta tính được:

2bcb2+c2−a2=−1

2acc2+a2−b2=1

2aba2+b2−c2=1

Trường hợp 3: c+a−b=0, suy ra b=a+c. Tương tự, ta tính được:

2acc2+a2−b2=−1

2bcb2+c2−a2=1

2aba2+b2−c2=1

Trong cả ba trường hợp, luôn có hai phân thức bằng 1 và một phân thức bằng -1.

Timi · Answer

Xin lỗi, Timi không thể trả lời câu hỏi của bạn, hãy thử lại sau.

Huycindy · Answer

$\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} + \dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ac} + \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = 1$
$\Leftrightarrow\dfrac{a(b^2+c^2-a^2) + b(c^2+a^2-b^2) + c(a^2+b^2-c^2)}{2abc} = 1$
$a(b^2+c^2-a^2) + b(c^2+a^2-b^2) + c(a^2+b^2-c^2) = 2abc$
$ab^2 + ac^2 - a^3 + bc^2 + ba^2 - b^3 + ca^2 + cb^2 - c^3 - 2abc = 0$
$-a^3 - b^3 - c^3 + a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ac^2 - 2abc = 0$
$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = 0$
Do đó ta có các trường hợp sau
Trường hợp $1: a+b-c = 0 \Rightarrow c = a+b$
$\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \dfrac{b^2+(a+b)^2-a^2}{2b(a+b)} = \dfrac{2b^2+2ab}{2b(a+b)} = 1$
$\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ac} = \dfrac{(a+b)^2+a^2-b^2}{2a(a+b)} = \dfrac{2a^2+2ab}{2a(a+b)} = 1$
$\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \dfrac{a^2+b^2-(a+b)^2}{2ab} = \dfrac{-2ab}{2ab} = -1$
Trường hợp $2: b+c-a = 0 \Rightarrow a = b+c$
$\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \dfrac{b^2+c^2-(b+c)^2}{2bc} = \dfrac{-2bc}{2bc} = -1$
$\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ac} = \dfrac{c^2+(b+c)^2-b^2}{2(b+c)c} = \dfrac{2c^2+2bc}{2c(b+c)} = 1$
$\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \dfrac{(b+c)^2+b^2-c^2}{2b(b+c)} = \dfrac{2b^2+2bc}{2b(b+c)} = 1$
Trường hợp $3: c+a-b = 0 \Rightarrow b = c+a$
$\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \dfrac{(c+a)^2+c^2-a^2}{2c(c+a)} = \dfrac{2c^2+2ca}{2c(c+a)} = 1$
$\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ac} = \dfrac{c^2+a^2-(c+a)^2}{2ac} = \dfrac{-2ac}{2ac} = -1$
$\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \dfrac{a^2+(c+a)^2-c^2}{2a(c+a)} = \dfrac{2a^2+2ca}{2a(c+a)} = 1$
$\Rightarrow$ Vậy ba phân thức trên luôn có hai phân thức bằng $1$ và một phân thức bằng $-1$.