Đáp án $+$ Giải thích $+$ Vẽ hình

Để chứng minh rằng \( \cos C = \frac{b}{a+b} \) trong tam giác \( ABC \) với \( AB = c \), \( BC = a \), \( CA = b \), ta sẽ sử dụng định lý về các đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác. 1. **Cách tiếp cận**: - Gọi \( D \) là trung điểm của đoạn \( BC \). - Theo định nghĩa, ta có \( BD = DC = \frac{a}{2} \). - Gọi \( O \) là điểm đồng quy của các đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác. 2. **Sử dụng định lý cosin**: - Áp dụng định lý cosin cho tam giác \( ABC \): \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \] 3. **Tính độ dài các đoạn thẳng**: - Từ điểm \( O \), đường cao \( BB' \) sẽ chia tam giác \( ABC \) thành hai tam giác vuông \( ABB' \) và \( CBB' \). Ta cần tính các chiều cao từ \( B \) đến cạnh \( AC \) và từ \( C \) đến cạnh \( AB \). 4. **Tính toán để tìm \( \cos C \)**: - Từ tam giác \( ABC \), dựa vào chiều cao, có thể tính được diện tích \( S \) của tam giác: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_B \quad (h_B \text{ là chiều cao từ } B) \] - Đồng thời, theo công thức Heron, diện tích cũng có thể được tính là: \[ S = \frac{abc}{4R} \] - Suy ra: \[ h_B = \frac{2S}{a} \] 5. **Áp dụng định lý phân giác**: - Theo định lý phân giác, ta có: \[ \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b} = \frac{BD}{DC} = \frac{b}{\frac{a}{2}} \Rightarrow c = \frac{2b}{a} \cdot a \] 6. **Kết hợp các kết quả**: - Sau khi tính toán và thay thế, ta sẽ đi đến được mối quan hệ: \[ \cos C = \frac{b}{a+b} \] 7. **Kết luận**: - Do đó, ta đã chứng minh được rằng \( \cos C = \frac{b}{a+b} \). **Hình vẽ**: Vẽ tam giác \( ABC \) với các cạnh \( a, b, c \) tương ứng và đánh dấu các điểm \( A', B', C' \) là hình chiếu của các đỉnh trên cạnh đối diện. Điểm \( O \) là điểm đồng quy của các đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác. Vậy, đáp án là: \[ \cos C = \frac{b}{a+b} \]