Đáp án $+$ Giải thích Bài 2. Chứng minh các bất phương trình sau là bất phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của tham,số m: $a)~(m^2+\frac12)x-1\leq0$ $b)~-(m^2+m+2)x\leq-m+2024$

Question

Huycindy · Accepted Answer

$a)$ Hệ số của ẩn $x$ là $a = m^2 + \dfrac{1}{2}$
Để bpt là bpt bậc nhất một ẩn thì $a 
eq 0$ nên $m^2 + \dfrac{1}{2} 
eq 0$
$m^2 \geq 0$ $\forall m \in \mathbb{R}$
$m^2 + \dfrac{1}{2} > 0$ $\forall m \in \mathbb{R}$
$m^2 + \dfrac{1}{2} 
eq 0$ $\forall m \in \mathbb{R}$
$b)$ Hệ số của ẩn $x$ là $a = -\left(m^2 + m + 2ight)$
Để bpt là bpt bậc nhất một ẩn thì $a 
eq 0$ nên $m^2 + m + 2 
eq 0$
$m^2 + m + 2 = \left(m^2 + m + \dfrac{1}{4}ight) + \dfrac{7}{4}$
$m^2 + m + 2 = \left(m + \dfrac{1}{2}ight)^2 + \dfrac{7}{4}$
$\left(m + \dfrac{1}{2}ight)^2 \geq 0$ $\forall m \in \mathbb{R}$
$\left(m + \dfrac{1}{2}ight)^2 + \dfrac{7}{4} > 0$ $\forall m \in \mathbb{R}$
$m^2 + m + 2 
eq 0$ $\forall m \in \mathbb{R}$

Timi · Answer

Để chứng minh các bất phương trình trong bài toán là bất phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của tham số $ m $, ta sẽ xử lý từng bất phương trình một.

### Bất phương trình a) $ (m^2+\frac{1}{2})x - 1 \leq 0 $

Đầu tiên, ta có thể biến đổi bất phương trình này như sau:

$$
(m^2+\frac{1}{2})x \leq 1
$$

Để làm rõ hơn, ta sẽ xét hai trường hợp dựa vào giá trị của $ m^2+\frac{1}{2} $:

1. **Trường hợp $ m^2 + \frac{1}{2} > 0 $**:
   - Khi đó, bất phương trình có thể được chia cho $ m^2 + \frac{1}{2} $ mà không thay đổi chiều bất phương trình:
   $$
   x \leq \frac{1}{m^2 + \frac{1}{2}}
   $$
   Đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn (với ẩn là $ x $).

2. **Trường hợp $ m^2 + \frac{1}{2} = 0 $**:
   - Trường hợp này không xảy ra, vì $ m^2 + \frac{1}{2} $ luôn dương với mọi giá trị của $ m $.

Vì vậy, bất phương trình $ (m^2+\frac{1}{2})x - 1 \leq 0 $ là bất phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của tham số $ m $.

### Bất phương trình b) $ -(m^2+m+2)x \leq -m + 2024 $

Đầu tiên, ta sẽ biến đổi bất phương trình này như sau:

$$
-(m^2+m+2)x + m - 2024 \geq 0
$$

Hoặc:

$$
-(m^2+m+2)x \geq -m + 2024
$$

Giả sử $ m^2 + m + 2 > 0 $ (cái này sẽ luôn đúng vì $ m^2 + m + 2 $ không có nghiệm thực, vì discriminant là âm), ta có thể chia cho $ -(m^2+m+2) $ và đảo chiều bất phương trình:

$$
x \leq \frac{m - 2024}{m^2 + m + 2}
$$

Bất phương trình này cũng là bất phương trình bậc nhất một ẩn với ẩn là $ x $.

### Kết luận

Cả hai bất phương trình đều là bất phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của tham số $ m $.