Bình thông nhau có hai nhánh cùng tiết diện. Người ta đổ chất lỏng có trọng lự̣ng riêng $d_{1}$ vào bình sao cho mực chất lỏng bằng nửa chiều cao $H$ của bình. Rót tiếp một chất lỏng khác có trọng lượng riêng $d_{2}$ đầy đến miệng bình. Tìm độ chênh lệch $h_{1}$ giữa hai mực chất lỏng $d_{1}$ và chiều cao $h_{2}$ của chất lỏng $d_{2}$ rót thêm vào. Giả sử các chất lỏng không trộn lẫn nhau. Thử tìm điều kiện giữa $d_{1}$ và $d_{2}$ để bài toán luôn thực hiện được (chất lỏng $d_{2}$ đầy đến miệng bình, chất lỏng $d_{1}$ không tràn ra).

Question

Bình thông nhau có hai nhánh cùng tiết diện. Người ta đổ chất lỏng có trọng lự̣ng riêng

d_{1}

vào bình sao cho mực chất lỏng bằng nửa chiều cao

H

của bình. Rót tiếp một chất lỏng khác có trọng lượng riêng

d_{2}

đầy đến miệng bình. Tìm độ chênh lệch

h_{1}

giữa hai mực chất lỏng

d_{1}

và chiều cao

h_{2}

của chất lỏng

d_{2}

rót thêm vào. Giả sử các chất lỏng không trộn lẫn nhau. Thử tìm điều kiện giữa

d_{1}

và

d_{2}

để bài toán luôn thực hiện được (chất lỏng

d_{2}

đầy đến miệng bình, chất lỏng

d_{1}

không tràn ra).

Accepted Answer

Sau khi rót chất lỏng

d_{1}

vào.
Áp suất tại

A^{P} P_{A^{=}} = d_{2} \cdot h_{2}

Áp suất tại

B : P_{B} = d_{1} \cdot h_{1}

Do

d_{2}

(1)
Mặt khác, do tiết diện haí bình bằng nhau nên khi chất lỏng ở nhánh 1 hạ xuống một đoạn

Δ h

thì chất lỏng ở nhánh 2 dâng lên một đoạn

Δ h

.
Từ đó:

h_{1} = 2 Δ h

và

h_{2} = \frac{H}{2} + Δ h

\Rightarrow h_{2} = \frac{H}{2} + \frac{h_{1}}{2} \dots

(2)
(1), (2) suy ra:

h_{1} = \frac{d_{2} \cdot H}{2 d_{1} - d_{2}}; h_{2} = \frac{d_{1} \cdot H}{2 d_{1} - d_{2}}

Để chất lỏng

d_{2}

đầy đến miệng bình:

\frac{H}{2} \leq h_{2} \leq H \Rightarrow d_{2} \leq d_{1}

Để chất lỏng

d_{1}

không chảy ra ngoài:

h_{1} \leq H \Rightarrow d_{2} \leq d_{1}

Kết hợp cả hai điều kiện, bài toán luôn thực hiện được:

d_{2} \leq d_{1}