Hai biểu thức $A = \frac{2 \sqrt{x} + 1}{4 x + 2 \sqrt{x} + 1}; B = (\frac{4 \sqrt{x} + 4 x}{8 x \sqrt{x} - 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x} - 1})$ với $x \geq 0; x \neq \frac{1}{4}$
1) Tính giá trị của $A$ khi $x = 1$
2) Chứng minh biểu thức $T = \frac{B}{A} = \frac{1}{2 \sqrt{x} + 1}$ .
3) Với $x \geq 1$ , tìm giá trị nhỏ nhất của $L = \frac{1}{T} + 4 T$ .
3') Tìm các giá trị nguyên của $x$ đế biểu thức $P = T \cdot \frac{2 x - 1}{2 \sqrt{x} - 1}$ nhận giá trị nguyên dương.

Question

Hai biểu thức

A = \frac{2 \sqrt{x} + 1}{4 x + 2 \sqrt{x} + 1}; B = (\frac{4 \sqrt{x} + 4 x}{8 x \sqrt{x} - 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x} - 1})

với

x \geq 0; x \neq \frac{1}{4}

1) Tính giá trị của

A

khi

x = 1

2) Chứng minh biểu thức

T = \frac{B}{A} = \frac{1}{2 \sqrt{x} + 1}

.
3) Với

x \geq 1

, tìm giá trị nhỏ nhất của

L = \frac{1}{T} + 4 T

.
3') Tìm các giá trị nguyên của

x

đế biểu thức

P = T \cdot \frac{2 x - 1}{2 \sqrt{x} - 1}

nhận giá trị nguyên dương.

Accepted Answer

1) Khi

A = \frac{2 \sqrt{x} + 1}{4 x + 2 \sqrt{x} + 1}; B = (\frac{4 \sqrt{x} + 4 x}{8 x \sqrt{x} - 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x} - 1})

(thỏa mãn

Đ K

), thay vào biểu thức

A

, ta được:

A = \frac{2 \sqrt{x} + 1}{4 x + 2 \sqrt{x} + 1} = \frac{2 + 1}{4 + 2 + 1} = \frac{3}{7}

Vậy

A = \frac{3}{7}

khi

x = 1

T = \frac{B}{A} = (\frac{4 \sqrt{x} + 4 x}{8 x \sqrt{x} - 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x} - 1}) : \frac{2 \sqrt{x} + 1}{4 x + 2 \sqrt{x} + 1} = (\frac{4 \sqrt{x} + 4 x}{(2 \sqrt{x} - 1) (4 x + 2 \sqrt{x} + 1)} - \frac{1}{2 \sqrt{x} - 1}) : \frac{2 \sqrt{x} + 1}{4 x + 2 \sqrt{x} + 1} = (\frac{4 \sqrt{x} + 4 x}{(2 \sqrt{x} - 1) (4 x + 2 \sqrt{x} + 1)} - \frac{4 x + 2 \sqrt{x} + 1}{(2 \sqrt{x} - 1) (4 x + 2 \sqrt{x} + 1)}) : \frac{2 \sqrt{x} + 1}{4 x + 2 \sqrt{x} + 1} = \frac{4 \sqrt{x} + 4 x - 4 x - 2 \sqrt{x} - 1}{(2 \sqrt{x} - 1) (4 x + 2 \sqrt{x} + 1)} : \frac{2 \sqrt{x} + 1}{4 x + 2 \sqrt{x} + 1} = \frac{2 \sqrt{x} - 1}{(2 \sqrt{x} - 1) (4 x + 2 \sqrt{x} + 1)} : \frac{2 \sqrt{x} + 1}{4 x + 2 \sqrt{x} + 1} = \frac{2 \sqrt{x} - 1}{(2 \sqrt{x} - 1) (4 x + 2 \sqrt{x} + 1)} \cdot \frac{4 x + 2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x} + 1} = \frac{1}{2 \sqrt{x} + 1} (đ p c m)

3) Ta có:

L = \frac{1}{T} + 4 T = \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{x} + 1}} + 4 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x} + 1} = 2 \sqrt{x} + 1 + \frac{4}{2 \sqrt{x} + 1}

Sai lầm mắc phải:
Khi tìm ra được biểu thức

L = 2 \sqrt{x} + 1 + \frac{4}{2 \sqrt{x} + 1}

, nhiều bạn đã vội vàng áp dụng luôn áp dụng

B Đ T

cosi cho

2 \sqrt{x} + 1

và

\frac{4}{2 \sqrt{x} + 1}

, và khi dó:

L = 2 \sqrt{x} + 1 + \frac{4}{2 \sqrt{x} + 1} \geq 2 \sqrt{(2 \sqrt{x} + 1) \cdot \frac{4}{2 \sqrt{x} + 1}} = 4

Từ đó kêt luận, dấu "=" xảy ra

\Leftrightarrow 2 \sqrt{x} + 1 = \frac{4}{2 \sqrt{x} + 1} \Leftrightarrow 2 \sqrt{x} + 1 = 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}

Rồi từ đó vội vàng kết luận

L_{min} = 4 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}

(Thỏa mãn điều kiện).
Lời giải trên sai lầm ở chỗ

x = \frac{1}{4}

chi thỏa mãn điều kiện rút gọn, nhưng lại không thỏa mãn điều kiện yêu cầu là

x \geq 1

, do đó việc áp dụng ngay BĐT cosi là không đúng.
Lời giải dúng:
Với

x \geq 1

nhận thấy

2 \sqrt{x} + 1 \geq 3

, do đó nếu áp dụng

B Đ T

cosi thì có thể dấu "=" sẽ xảy ra khi

2 \sqrt{x} + 1 = 3

, do đó ta sẽ phân tích tiếp biểu thức

L

để áp dụng BĐT cosi theo điều kiện dấu "

=

" xảy ra khi

2 \sqrt{x} + 1 = 3

.
Đặt

2 \sqrt{x} + 1 = t \Rightarrow t \geq 3

(vì

x \geq 1

), ta có:

L = t + \frac{4}{t} = (\frac{4 t}{9} + \frac{4}{t}) + \frac{5 t}{9} \geq 2 \sqrt{\frac{16}{9}} + \frac{5}{3} = \frac{13}{3} (do t \geq 3)

Áp dụng

B Đ T cosi

, ta có:

\frac{4 t}{9} + \frac{4}{t} \geq 2 \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{8}{3}

(1)
Theo

t \geq 3 \Rightarrow \frac{5 t}{9} \geq \frac{5}{3}

(2)
Do đó:

L = t + \frac{4}{t} = (\frac{4 t}{9} + \frac{4}{t}) + \frac{5 t}{9} \geq \frac{8}{3} + \frac{5}{3} = \frac{13}{3}

Dấu "=" xảy ra

\Leftrightarrow

Dấu "=" ở (1) và (2) đồng thời xảy ra

\Leftrightarrow {\begin{matrix} \frac{4 t}{9} = \frac{4}{t} \Leftrightarrow t = 3 \\ t = 3 \end{matrix}

Khi đó

L_{M i n} = \frac{13}{3} \Leftrightarrow 2 \sqrt{x} + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 1

(Thỏa mãn)
Vậy

Min L = \frac{13}{3} \Leftrightarrow t = 3 \Leftrightarrow x = 1

.