cho a,b là 2 số nguyên thỏa mãn (a-b)(2a+2b+1)=b^2 chứng minh phân số a-b trên 2a+2b+1 là tối giản

Để chứng minh phân số $\frac{a-b}{2a+2b+1}$ là tối giản, ta cần chứng minh rằng $a-b$ và $2a+2b+1$ không có ước chung nào lớn hơn 1. Từ điều kiện $(a-b)(2a+2b+1)=b^2$, ta có thể suy ra: $ \begin{aligned} b^2 &= (a-b)(2a+2b+1) \\ &= 2a^2 + 2ab + a - 2b^2 - b \\ &= 2(a^2 - b^2) + (2ab + a - b) \\ &= 2(a+b)(a-b) + (a+b)(a-b) \\ &= (a+b+2)(a-b) \end{aligned} $ Do đó, ta có thể viết lại phân số ban đầu dưới dạng: $ \frac{a-b}{2a+2b+1} = \frac{(a-b)}{(a+b+2)(a-b)} = \frac{1}{a+b+2} $ Vậy để chứng minh phân số ban đầu là tối giản, ta cần chứng minh rằng $a+b+2$ không có ước chung nào lớn hơn 1 với $a-b$ và $2a+2b+1$. Giả sử rằng $d$ là ước chung của $a+b+2$ và $a-b$. Khi đó, ta có thể viết $a+b+2$ và $a-b$ dưới dạng $a+b+2=dk$ và $a-b=d\ell$ với $k,\ell \in \mathbb{Z}$. Thay vào phương trình $(a-b)(2a+2b+1)=b^2$, ta được: $ d\ell(2d(k+\ell)+1) = b^2 $ Do $d$ là ước chung của $a+b+2$ và $a-b$, nên $d$ cũng là ước chung của $(a+b+2)+(a-b)=2a+2b+2$. Từ đó suy ra $d$ cũng là ước chung của $2a+2b+1$ (vì $2a+2b+1 = 2(a+b+2) - 3$). Vậy $d$ là ước chung của cả $2a+2b+1$ và $a-b$, nên ta có thể viết $2a+2b+1=dq$ và $a-b=d\ell'$ với $\ell' \in \mathbb{Z}$. Thay vào phương trình ban đầu, ta được: $ \begin{aligned} dq\ell'(2dq(k+\ell') + 1) &= b^2 \\ \Rightarrow q\ell'(2dq(k+\ell') + 1) &= \frac{b^2}{d} \\ \end{aligned} $ Vì $d$ là ước chung của $2a+2b+1$ và $a-b$, nên $d$ cũng là ước chung của $b^2$. Từ đó suy ra $d$ cũng là ước chung của $b$. Do đó, nếu $d>1$, thì $d$ cũng là ước chung của $a,b,a+b+2$, và $2a+2b+1$. Nhưng điều này sẽ dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết ban đầu rằng $a-b$ và $2a+2b+1$ không có ước chung nào lớn hơn 1. Vậy $d=1$, tức là $a-b$ và $a+b+2$ không có ước chung nào lớn hơn 1. Do đó, phân số $\frac{a-b}{2a+2b+1}$ là tối giản.