Cho a,b là các số tự nhiên liên tiếp không cùng tính chẵn lẻ( a>b) chứng minh rằng: ƯCLN( a, b) = ƯCLN( a+b; a-b )

Ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng định lí Euclid về ước số chung lớn nhất (ƯCLN). Giả sử d = ƯCLN(a, b), ta có thể viết a = dx và b = dy, trong đó x và y là các số tự nhiên không chia hết cho d. Vì a và b là các số tự nhiên liên tiếp không cùng tính chẵn lẻ, nên x và y khác tính chẵn lẻ. Ta có: a + b = dx + dy = d(x + y) a - b = dx - dy = d(x - y) Do đó, ƯCLN(a+b, a-b) chính là ƯCLN(d(x+y), d(x-y)). Ta có thể rút gọn d ra khỏi 2 số này để được: ƯCLN(a+b, a-b) = ƯCLN(x+y, x-y) Ta cần chứng minh rằng x+y và x-y không chia hết cho bất kỳ số tự nhiên nào lớn hơn 1. Giả sử tồn tại một số tự nhiên k > 1 sao cho k chia hết cho cả x+y và x-y. Ta có: k | (x+y) + (x-y) = 2x k | (x+y) - (x-y) = 2y Vì x và y khác tính chẵn lẻ, nên 2x và 2y khác tính chẵn lẻ. Do đó, k phải là một số lẻ. Nhưng nếu k chia hết cho 2, thì k cũng không thể chia hết cho x+y và x-y đồng thời. Vậy ta đã chứng minh được rằng x+y và x-y không chia hết cho bất kỳ số tự nhiên nào lớn hơn 1. Do đó, ƯCLN(a, b) = d = ƯCLN(x,y) = ƯCLN(a+b, a-b). Chứng minh được hoàn thành.