Tìm 2 số tự nhiên a,b biết :$\left(5^a+1)\cdot\left(5^a+2\right)=3^b+41\right.$

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích thành thừa số nguyên tố. Đầu tiên, ta sẽ phân tích $41$ thành thừa số nguyên tố: $41 = 41 \cdot 1$. Tiếp theo, ta sẽ xét phần trái của phương trình: $(5^a + 1) \cdot (5^a + 2)$ Ta sẽ đặt $x = 5^a$, vậy phần trái của phương trình trở thành: $(x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2$ Ta sẽ phân tích $x^2 + 3x + 2$ thành thừa số nguyên tố: $x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$ Vậy phương trình ban đầu có thể viết lại dưới dạng: $(5^a + 1) \cdot (5^a + 2) = 3^b \cdot (5^2 - 2)$ Hay: $(5^a + 1) \cdot (5^a + 2) = 23 \cdot 3^b$ Do $23$ là số nguyên tố và không chia hết cho $3$, nên $23$ phải chia hết cho một trong hai số $5^a + 1$ hoặc $5^a + 2$. Nếu $23$ chia hết cho $5^a + 1$, ta có: $23 \equiv -1 \pmod{5^a + 1}$ Vậy: $23^2 \equiv 1 \pmod{5^a + 1}$ Từ đó suy ra: $3^b \equiv 23^2 \equiv 1 \pmod{5^a + 1}$ Do đó, $5^a + 1$ phải chia hết cho $3$. Tức là: $5^a + 1 \equiv 0 \pmod{3}$ Hay: $(-1)^a + 1 \equiv 0 \pmod{3}$ Ta thấy rằng $(-1)^a$ chỉ có thể là $1$ hoặc $-1$. Nếu $(-1)^a = 1$, ta có $a$ chẵn và: $5^a + 1 \equiv 2 \pmod{3}$ Không thể chia hết cho $3$. Nếu $(-1)^a = -1$, ta có $a$ lẻ và: $5^a + 1 \equiv 0 \pmod{3}$ Do đó, $5^a + 1$ chia hết cho $3$. Từ đó, ta suy ra được: $5^a + 1 = 3^k$ với $k$ là một số nguyên dương nào đó. Tiếp theo, ta sẽ xét trường hợp $23$ chia hết cho $5^a + 2$. Ta có: $23 \equiv 1 \pmod{5^a + 2}$ Vậy: $23^2 \equiv 1 \pmod{5^a + 2}$ Từ đó suy ra: $3^b \equiv 23^2 \equiv 1 \pmod{5^a + 2}$ Do đó, $5^a + 2$ phải chia hết cho $3$. Tức là: $5^a + 2 \equiv 0 \pmod{3}$ Hay: $(-1)^a + 2 \equiv 0 \pmod{3}$ Tương tự như trường hợp trên, ta suy ra được: $5^a + 2 = 3^m$ với $m$ là một số nguyên dương nào đó. T