cho tam giác MNP vuông tại M Gọi A là trung điểm của NP Trên tia đối của AB lấy điểm E sao cho AD = AE Chứng minh MN a = 1/2 nm

Để chứng minh MN = 1/2 NM, ta cần sử dụng định lí Pythagoras và tính chất của trung điểm. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên NP. Ta có: - MP^2 = MH^2 + HP^2 (theo định lí Pythagoras) - NP^2 = NH^2 + HP^2 (theo định lí Pythagoras) Do tam giác MNP vuông tại M nên ta có: - MN^2 = MP^2 + NP^2 - MN^2 = MH^2 + HP^2 + NH^2 + HP^2 - MN^2 = 2HP^2 + MP^2 + NH^2 Vì A là trung điểm của NP nên ta có: - AH = \frac{1}{2} NP - AE = AD = \frac{1}{2} NP Do đó, ta có: - HD = AH - AD = \frac{1}{2} NP - \frac{1}{2} NP = 0 - HE = AH - AE = \frac{1}{2} NP - \frac{1}{2} NP = 0 Tức là D và E trùng nhau. Khi đó, ta có: - AD || BE (do AD = AE và AB là đường chéo của hình thoi AEBN) - AB là đường trung trực của DE (do A là trung điểm của NP và D=E) - AB vuông góc với DE (do AB là đường chéo của hình thoi AEBN) Vậy tam giác ADE cũng là tam giác vuông tại D (hay E). Do đó, ta có: - DE^2 = AD^2 + AE^2 - DE^2 = \frac{1}{4} NP^2 + \frac{1}{4} NP^2 - DE^2 = \frac{1}{2} NP^2 Từ đó, ta suy ra: - NH^2 = NP^2 - PH^2 = NP^2 - \frac{1}{4} NP^2 = \frac{3}{4} NP^2 - MH^2 = MP^2 - PH^2 = MP^2 - \frac{1}{4} NP^2 Thay vào biểu thức của MN^2, ta được: - MN^2 = 2HP^2 + MP^2 + NH^2 - MN^2 = 2HP^2 + MP^2 + \frac{3}{4} NP^2 - MN^2 = 2HP^2 + MH^2 + \frac{7}{4} NP^2 Vì A là trung điểm của NP nên ta có: - HP = \frac{1}{2} NP - MP - HP^2 = (\frac{1}{2} NP - MP)^2 - HP^2 = \frac{1}{4} NP^2 - NP \cdot MP + MP^2 Thay vào biểu thức của MN^2, ta được: - MN^2 = 2(\frac{1}{4} NP^2 - NP \cdot MP + MP^2) + MH^2 + \frac{7}{4} NP^2 - MN^2 = \frac{1}{2} NP^2 + 2MP^2 + MH^2 Vì A là trung điểm của NP nên ta có: - MP = \frac{1}{2} PN - MH = \frac{1}{2} MN Thay vào biểu thức của MN^2, ta được: - MN^2 = \frac{1}{2} NP^2 + 2(\frac{1}{2} PN)^2 + (\frac{1}{2} MN)^2 - MN^2 = \frac{1}{2} NP^2 + \frac{1}{2} PN^2 + \frac{1}{4} MN^2 - \frac{3}{4} MN^2 = \frac{1}{2} NP^2 + \frac{1}{2} PN^2 - MN^2 = \frac{2}{3} (NP^2 + PN^2) Do đó, ta có: - MN = \sqrt{\