cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) đường tròn tâm O đường kính BC cắt AC,AB tại D và E gọi H là giao của BD và CE, S là giao điểm của AH và BC gọi M là trung điểm của AH , K là giao điểm của AS và DE
chứ...
Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Để chứng minh BK vuông góc MC, ta sẽ sử dụng định lí Menelaus và định lí Euclid.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác AHC và đường thẳng cắt AB, ta có:
$\frac{SB}{SC}.\frac{EC}{EA}.\frac{HA}{HB}=1$
Do $EC=EB$ (đường tròn tâm O đường kính BC cắt AC,AB tại D và E), nên ta có thể rút gọn thành:
$\frac{SB}{SC}.\frac{HA}{HB}=1$
Tương tự, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác AHB và đường thẳng cắt AC, ta có:
$\frac{SC}{SB}.\frac{DA}{DC}.\frac{HA}{HB}=1$
Do $DA=DE$ (đường tròn tâm O đường kính BC cắt AC,AB tại D và E), nên ta có thể rút gọn thành:
$\frac{SC}{SB}.\frac{HA}{HB}=1$
Từ hai phương trình trên, suy ra:
$(\frac{SB}{SC})^2=\frac{DC}{DA}=\frac{BC-AC}{BC-AB}$
Áp dụng định lí Euclid cho tam giác ABC và đường trung trực của AH, ta có:
$MC^2-MB^2=AC^2-AB^2$
Mà $AC^2-AB^2=BC.(BC-AC+AB)=BC.(DC-DA)$
Do đó, ta có:
$MC^2-MB^2=BC.(DC-DA)=BC.(\frac{SB}{SC})^2.BC=SB^2-SC^2$
Từ đó, suy ra $MB^2-MC^2=SC^2-SB^2$, tức là tam giác BMC vuông tại M.
Áp dụng định lí Euclid cho tam giác ABS và đường trung trực của AH, ta có:
$MC^2-MB^2=SC^2-SB^2$
Mà ta đã chứng minh được $MB^2-MC^2=SC^2-SB^2$, nên ta có thể kết luận rằng tam giác ABS cũng vuông tại M.
Vậy ta có BK vuông góc MC.
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.