Cho tam giác vuông MNP vuông tại M, MN=9cm, NP=15cm. Đường cao MK a, chứng minh ∆KPM đồng dạng với ∆MPN b, chứng minh MP²=PN.PK c, tính MP, KP, MK

a, Ta có: - Góc MNP = 90 độ (vì tam giác vuông tại M) - Góc KPM = góc MPN (vì cùng chắn cung KM trên đường tròn ngoại tiếp tam giác KPM) Vậy ∆KPM đồng dạng với ∆MPN theo góc. b, Ta có: - Diện tích ∆KPM = 1/2 * KP * PM (vì K là chân đường cao MK) - Diện tích ∆MPN = 1/2 * MP * PN (vì MN là đường cao của tam giác MPN) Vì ∆KPM đồng dạng với ∆MPN nên tỉ số diện tích của chúng bằng bình phương tỉ số các cạnh tương ứng: S(KPM)/S(MPN) = (KP*PM)/(MP*PN) = (KP/PN)*(PM/MP) = (sin(góc KPM)/sin(góc MPN))^2 Vì góc KPM = góc MPN (theo a) nên sin(góc KPM) = sin(góc MPN), suy ra: KP*PM = MP*PN Vậy MP² = PN*PK. c, Áp dụng kết quả b ở trên, ta có: - MP = √(PN*PK) = √(15*12) = 3√5 cm - PN = MP²/PK = 135/12 = 11.25 cm - KP = MP²/PN = 135/15 = 9 cm - MK = √(KP² - KM²) = √(81 - 36) = 3√5 cm.