Cho tam giác ABC, điểm D nằm trên cạnh AC, điểm E nằm trên cạnh BC sao cho: AD=DC, BE= 3/2 EC. Các đoạn thẳng AE và BD cắt nhau ở K. a) BK gấp mấy lần KD? b)Biết diện tích tam giác ABC bằng 80m². Tính...

a) Ta có thể sử dụng định lí Menelaus để giải quyết bài toán này. Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABD và đường thẳng cắt BEK, ta có: $\frac{AK}{KB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CD}{DA} = 1$ Thay giá trị đã biết vào phương trình ta được: $\frac{AK}{KB} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1} = 1$ Từ đó suy ra: $\frac{AK}{KB} = \frac{2}{3}$ Vậy BK gấp $\frac{3}{2}$ lần KD. b) Gọi $S_{DKEC}$ là diện tích hình DKEC. Ta có thể tính được tỉ số diện tích giữa tam giác ABD và tam giác ABC bằng cách sử dụng định lí diện tích của Tam giác: $\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}} = \frac{BD}{BC}$ Thay giá trị đã biết vào phương trình ta được: $\frac{S_{ABD}}{80} = \frac{BD}{BC}$ Do $AD=DC$ nên ta có $S_{ABD}=S_{CBD}$. Từ đó suy ra: $\frac{S_{CBD}}{80} = \frac{BD}{BC}$ $\Rightarrow \frac{S_{ABD}}{80} = \frac{S_{CBD}}{80} = \frac{BD}{BC} = \frac{2}{5}$ Do đó, ta có thể tính được diện tích của tam giác ABD và tam giác CBD: $S_{ABD} = \frac{2}{5} \cdot 80 = 32$ $S_{CBD} = \frac{2}{5} \cdot 80 = 32$ Từ đó suy ra diện tích của tam giác BCD: $S_{BCD} = 80 - S_{ABD} - S_{CBD} = 16$ Vì $BE=\frac{3}{2}EC$ nên ta có thể tính được tỉ số giữa diện tích tam giác BED và tam giác BEC: $\frac{S_{BED}}{S_{BEC}} = \frac{BD}{BC} = \frac{2}{5}$ Do đó, ta có thể tính được diện tích tam giác BED: $S_{BED} = \frac{2}{5}S_{BEC} = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5}S_{BCD} = \frac{6}{25} \cdot 16 = \frac{96}{25}$ Cuối cùng, ta tính được diện tích hình DKEC: $S_{DKEC} = S_{BED} + S_{BCD} = \frac{96}{25} + 16 = \frac{496}{25} m^2$