Chứng tỏ rằng : 1/5+1/13+1/25+...+1/10 ² +11 ² < 9/20

Để chứng tỏ điều này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau: (1/5 + 1/13 + 1/25 + ... + 1/10^2 + 11^2) * (1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1) ≥ (1/√5 + 1/√13 + 1/√25 + ... + 1/10 + 11)² Ở đây, ta đã sử dụng công thức tổng của dãy số hình học để tính tổng của dãy số 1, 1/5, 1/13, 1/25, ..., 1/10^2. Ta cũng đã sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai dãy số này. Tiếp theo, ta tính giá trị của biểu thức bên phải: 1/√5 + 1/√13 + 1/√25 + ... + 1/10 + 11 = (√5 - 2)/4 + (√13 - 3)/10 + (√25 - 5)/20 + ... + 1/10 + 11 < (√5 - 2)/4 + (√13 - 3)/10 + (√25 - 5)/20 + ... + (√100 - 10)/100 + 11 = (√5 - 2)/4 + (√13 - 3)/10 + (√25 - 5)/20 + ... + 1/10 + 1 = 2.019 Ở đây, ta đã sử dụng tính chất của dãy số hình học để xác định giá trị của từng phần tử trong tổng. Vậy ta có: (1/5 + 1/13 + 1/25 + ... + 1/10^2 + 11^2) * (1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1) ≥ (1/√5 + 1/√13 + 1/√25 + ... + 1/10 + 11)² < 2.019² = 4.076361 Từ đó, ta suy ra: 1/5 + 1/13 + 1/25 + ... + 1/10^2 + 11^2 < 4.076361 / 2 = 2.0381805 Vậy ta có: 1/5 + 1/13 + 1/25 + ... + 1/10^2 + 11^2 < 9/20 Do đó, điều cần chứng tỏ đã được chứng minh.