cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Vẽ DK vuông góc với BC (K ∈ BC). KD kéo dài cắt tia BA tại H. a) chứng minh DA=DK. b) so sánh DC và AD. c) chứng minh CD>CH/2

a) Ta có: $\angle BDK = \angle BDC + \angle CDK = \angle BAC + \angle ADB = 90^\circ + \dfrac{\angle BAC}{2}$ $\angle KDH = \angle BDA - \angle BDH = \angle BDA - \angle BDK = \angle BAC - \dfrac{\angle BAC}{2} = \dfrac{\angle BAC}{2}$ Vậy $\triangle KDH$ và $\triangle KDC$ đồng dạng nên ta có: $\dfrac{KD}{KH} = \dfrac{KC}{KD}$ $\Rightarrow KD^2 = KC \cdot KH$ Mà ta có: $KD \cdot AB = AD \cdot BK$ (do $DK$ là phân giác góc $BDC$) $\Rightarrow KD \cdot (AB + BK) = AD \cdot BK$ $\Rightarrow KD \cdot AC = AD \cdot BK$ $\Rightarrow KD \cdot AC = AD \cdot (BC - CK)$ $\Rightarrow KD \cdot AC = AD \cdot BC - AD \cdot CK$ $\Rightarrow KD \cdot AC = AD \cdot BC - AD \cdot DK$ $\Rightarrow KD \cdot AC = AD \cdot BC - KD^2$ $\Rightarrow AD \cdot BC = KD \cdot (AC + KD)$ $\Rightarrow AD = KD$ b) Ta có: $\angle DAC = \angle BAD - \angle BAC = 90^\circ - \angle BAC$ Vậy $\triangle ACD$ vuông tại $A$ và có $\angle DAC = 90^\circ - \angle BAC$ Do đó, ta có $AD > DC$ c) Ta có: $\angle CHD = \angle AHB = \angle ADB = \dfrac{\angle BAC}{2}$ Vậy $\triangle CHD$ và $\triangle CAD$ đồng dạng nên ta có: $\dfrac{CD}{CH} = \dfrac{AD}{AC}$ $\Rightarrow CD = \dfrac{AD \cdot CH}{AC}$ Ta cần chứng minh: $CD > \dfrac{CH}{2}$ $\Leftrightarrow AD \cdot CH > \dfrac{AC \cdot CH}{2}$ $\Leftrightarrow AD > \dfrac{AC}{2}$ Điều này đúng vì trong tam giác vuông tại $A$, đường cao $AH$ là đoạn trung bình của $BC$. Vậy ta đã chứng minh được.