Cho parabol (P): y=x^2và đường thẳng d:y = mx+1 (với m là tham số).
a. Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m, đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
b. Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d và parabol (P); H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên trục Ox. Tìm tất cả các giá trị thực của m để diện tích hình thang ABKH bằng 3 lần diện tích tam giác AOB, với O là gốc tọa độ.
$^{^{^{^22}}}$

Question

Cho parabol (P): y=x^2và đường thẳng d:y = mx+1 (với m là tham số). 
a. Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m, đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
b. Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d và parabol (P); H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên trục Ox. Tìm tất cả các giá trị thực của m để diện tích hình thang ABKH bằng 3 lần diện tích tam giác AOB, với O là gốc tọa độ. 
$^{^{^{^22}}}$

Accepted Answer

a. Để chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt, ta giải hệ phương trình:
$$\begin{cases}y=x^2 \ y=mx+1 \end{cases}$$
Từ đó suy ra $x^2 = mx+1$, hay $x^2-mx-1=0$. Để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt, ta cần chứng minh rằng phương trình $x^2-mx-1=0$ có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị thực của m. Điều này tương đương với việc chứng minh rằng $\Delta = m^2+4>0$ với mọi giá trị thực của m. Thật vậy:
$$\Delta = m^2+4 > 0$$
Vậy ta đã chứng minh được rằng đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị thực của m.

b. Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d và parabol (P); H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên trục Ox. Ta có:
$$A\left(\frac{m-1}{m}, \frac{m^2}{m}ight), B\left(\frac{m+1}{m}, \frac{m^2}{m}ight)$$
Hình chiếu vuông góc của A lên trục Ox là điểm H có tọa độ $(\frac{m-1}{m}, 0)$, hình chiếu vuông góc của B lên trục Ox là điểm K có tọa độ $(\frac{m+1}{m}, 0)$. Ta cần tìm các giá trị thực của m để diện tích hình thang ABKH bằng 3 lần diện tích tam giác AOB. Diện tích hình thang ABKH là:
$$S_{ABKH} = \frac{1}{2}(AB+HK)(BH) = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{m}ight)\left|\frac{m^2}{m}ight| = |m|$$
Diện tích tam giác AOB là:
$$S_{AOB} = \frac{1}{2}\left|\frac{m-1}{m}\cdot\frac{m+1}{m}ight|\cdot\left|\frac{m^2}{m}ight| = \frac{1}{2}\left|\frac{m^2-1}{m^2}ight|\cdot|m|$$
Vậy ta cần giải phương trình:
$$|m| = 3\cdot\frac{1}{2}\left|\frac{m^2-1}{m^2}ight|\cdot|m|$$
Tương đương với:
$$2 = 3\cdot\frac{|m^2-1|}{m^2}$$
Ta sẽ xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: $m^2 > 1$
Khi đó, phương trình trở thành:
$$2 = 3\cdot\frac{m^2-1}{m^2} \Leftrightarrow m^2 = 5$$
Vậy ta có hai giá trị thực của m là $m=\sqrt{5}$ và $m=-\sqrt{5}$.
- Trường hợp 2: $0 < m^2 \leq 1$
Khi đó, phương trình trở thành:
$$2 = 3\cdot\frac{1-m^2}{m^2} \Leftrightarrow m^4-3m^2+2=0$$
Giải phương trình này ta được $m^2=1$ hoặc $m^2=2$. Tuy nhiên, $m^2=1$ đã bị loại

Cho parabol (P): y=x^2và đường thẳng d:y = mx+1 (với m là tham số). a. Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m, đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. b. Gọi A, B là giao điểm c...