Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC, trên nửa đường tròn lấy điểmA . Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC). tính bán kính đường tròn nếu biết diện tích tam giác ABH và ACH lần lượt là 54 và 96

Gọi $R$ là bán kính đường tròn. Ta có thể tính được độ dài các cạnh của tam giác $ABH$ và $ACH$ như sau: - Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có $AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}R$. - Vì $AH$ vuông góc $BC$ nên $AH^2 = AM^2 + MH^2 = \frac{1}{4}R^2 + MH^2$. - Gọi $x$ là độ dài $MH$. Ta có $[ABH] = \frac{1}{2}AH \cdot BH = \frac{1}{2}AH \cdot \frac{1}{2}BC = \frac{1}{8}AH \cdot R$ và $[ACH] = \frac{1}{2}AH \cdot CH = \frac{1}{2}AH \cdot \frac{1}{2}BC = \frac{1}{8}AH \cdot R$. - Từ đó, ta có hệ phương trình: $\begin{cases} \frac{1}{8}AH \cdot R = 54 \\ \frac{1}{8}AH \cdot R = 96 \end{cases}$ - Giải hệ phương trình trên, ta được $AH = 18$ và $R = \sqrt{AH^2 + MH^2} = \sqrt{18^2 + x^2}$. - Để tìm $x$, ta sử dụng công thức diện tích tam giác: $[ABH] = \frac{1}{2}AH \cdot BH \cdot \sin{\angle BAH} = \frac{1}{2}AH \cdot \frac{1}{2}BC \cdot \sin{\angle BAH} = \frac{1}{4}AH \cdot R \cdot \sin{\angle BAH}$. - Tương tự, ta có $[ACH] = \frac{1}{4}AH \cdot R \cdot \sin{\angle CAH}$. - Do đó, $\frac{[ABH]}{[ACH]} = \frac{\sin{\angle BAH}}{\sin{\angle CAH}} = \frac{54}{96} = \frac{9}{16}$. - Áp dụng định lý cosin trong tam giác $AMH$, ta có: $\cos{\angle MAH} = \frac{AM^2 + MH^2 - AH^2}{2 \cdot AM \cdot MH} = \frac{\frac{1}{4}R^2 + x^2 - 18^2}{R \cdot x}$ - Từ đó, ta có $\sin{\angle BAH} = \sqrt{1 - \cos^2{\angle MAH}} = \sqrt{1 - \left(\frac{\frac{1}{4}R^2 + x^2 - 18^2}{R \cdot x}\right)^2}$ và $\sin{\angle CAH} = \sqrt{1 - \cos^2{\angle MAH}} = \sqrt{1 - \left(\frac{\frac{1}{4}R^2 + x^2 - 18^2}{R \cdot x}\right)^2}$. - Thay các giá trị đã biết vào phương trình $\frac{\sin{\angle BAH}}{\sin{\angle CAH}} = \frac{9}{16}$, ta có thể giải được $x$. - Cuối cùng, tính $R = \sqrt{18^2 + x^2}$.