Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+2b+3c≥20. Tìm giá trị nhỏ nhất của A=a+b+c+(3/a)+(9/2b)+(4/c)

Ta có thể áp dụng bất đẳng thức AM-GM để giải bài toán này. Đầu tiên, ta chia tử số của A thành 3 phần: A = (a + 2b/2 + 2b/2 + 3c/3 + 3c/3) + (3/a) + (9/2b) + (4/c) - b - c Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 5 số trong ngoặc đơn ta được: (a + 2b/2 + 2b/2 + 3c/3 + 3c/3) ≥ 5√[(a.2b/2.2b/2.3c/3.3c/3)] = 5√(abc) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số còn lại ta được: (3/a) + (9/2b) + (4/c) ≥ 3√[(3/a).(9/2b).(4/c)] = 6√(2/abc) Kết hợp hai bất đẳng thức trên, ta có: A ≥ 5√(abc) + 6√(2/abc) - b - c Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của A, do đó ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong ngoặc đơn bằng cách áp dụng bất đẳng thức AM-GM: 5√(abc) + 6√(2/abc) = 5√(abc) + 3√(2/abc) + 3√(2/abc) ≥ 3.2√5 = 6√5 Do đó, ta có: A ≥ 6√5 - b - c Ta sẽ chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức b - c là 0. Giả sử b - c > 0, ta có: a + 2b + 3c ≥ 20 ⇒ a + 2(b - c) + 3c ≥ 20 + b - c > 20 Từ đó suy ra: A = (a + 2b/2 + 2b/2 + 3c/3 + 3c/3) + (3/a) + (9/2b) + (4/c) - b - c < (a + 2(b - c)/2 + 2(b - c)/2 + 3c/3 + 3c/3) + (3/a) + (9/2(b - c)) + (4/c) - (b - c) - c = a + 2b/2 + 2b/2 + 3c/3 + 3c/3 + (3/a) + (9/2b) + (4/c) - 2c < a + 2b/2 + 2b/2 + 3c/3 + 3c/3 + (3/a) + (9/2b) + (4/c) = 5√(abc) + 6√(2/abc) < 6√5 Điều này mâu thuẫn với giá trị nhỏ nhất của A, do đó giả thiết b - c > 0 là sai. Từ đó suy ra b = c và giá trị nhỏ nhất của A là: A = 6√5 - b - c = 4√5.