Mọi người giúp em với ạ

1.12. Ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của số mũ và định nghĩa của số nguyên tố. Giả sử rằng a, b, c là ba số lẻ bất kỳ. Khi đó, ta có: a^2 ≡ 1 (mod 8) b^2 ≡ 1 (mod 8) c^2 ≡ 1 (mod 8) Do đó, a^2 + b^2 + c^2 ≡ 3 (mod 8) Vì a, b, c đều là số lẻ, nên a^2 + b^2 + c^2 là một số lẻ. Như vậy, a^2 + b^2 + c^2 không chia hết cho 2 hoặc 4. Do đó, a^2 + b^2 + c^2 không phải là một số chính phương. Nếu (a, b, c) là một bộ ba số nguyên tố cùng nhau, thì theo định nghĩa của số nguyên tố, ta có: (a^2 + b^2 + c^2, ab + bc + ca) = 1 Từ đó, ta suy ra: (a^2 + b^2 + c^2)(ab + bc + ca) ≡ abc(a + b + c) (mod abc) Vì a, b, c đều là số lẻ, nên a + b + c là một số chẵn. Do đó, abc chia hết cho 2. Như vậy, ta có: (a^2 + b^2 + c^2)(ab + bc + ca) ≡ 0 (mod 2) Vì a, b, c đều là số lẻ, nên abc cũng là một số lẻ. Do đó, ta có: (a^2 + b^2 + c^2)(ab + bc + ca) ≡ 0 (mod abc) Từ đó, suy ra: (a^2 + b^2 + c^2, ab + bc + ca) = abc Do đó, với mọi bộ ba số lẻ a, b, c, ta đều có: (a^2 + b^2 + c^2, ab + bc + ca) = abc 1.13. Để chứng minh đẳng thức này, ta sử dụng tính chất của phép toán trên ước số và định nghĩa của số nguyên tố. Gọi d = (a, b), e = (a, c), f = (b, c). Khi đó, ta có: (a, b, c) = def [a, b] = ab/d [b, c] = bc/f [c, a] = ac/e Do đó, [(a, b, c), [a, b], [b, c], [c, a]] = abcdef/d^2f^2e^2 Ta cần chứng minh rằng: [(a, b, c), [a, b], [b, c], [c, a]] = (a, b)(b, c)(c, a) Từ đó, suy ra: (a, b)(b, c)(c, a) = abcdef/d^2f^2e^2 Tương đương với: (a, b, c)(ab, bc, ca) = abc(a, b, c)(d, e, f) Tương đương với: (ab, bc, ca) = abc(d, e, f) Để chứng minh điều này, ta sử dụng tính chất của phép toán trên ước số và định nghĩa của số nguyên tố. Giả sử rằng d, e, f đều là các số nguyên tố cùng nhau. Khi đó, ta có: (ab, bc, ca) = (a, b)(b, c)(c, a) Do đó, (ab, bc, ca) = def(a, b, c) Từ đó, suy ra: (ab, bc, ca) = abc(d, e, f) Vậy, ta đã chứng minh được đẳng thức cần chứng minh. 1.14. Để chứng minh đẳng thức này, ta sử dụng tính chất của phép toán trên ước số và định nghĩa của số nguyên tố. Gọi d = (A1, A2, ..., An). Khi đó, ta có: A1A2...An = d(B1B2...Bn) + An/B1 + An/B2 + ... + An/Bn Trong đó, Bi = A1A2...An/Ai. Do đó, B1B2...Bn = A1A2...An/d Ta cần chứng minh rằng: (A1, A2, ..., An)[B1, B2, ..., Bn] = A1A2...An Tương đương với: d(B1B2...Bn) = 1 Từ đó, suy ra: A1A2...An = An/B1 + An/B2 + ... + An/Bn Để chứng minh điều này, ta sử dụng tính chất của phép toán trên ước số và định nghĩa của số nguyên tố. Giả sử rằng B1, B2, ..., Bn đều là các số nguyên tố cùng nhau. Khi đó, ta có: (A1, A2, ..., An)[B1, B2, ..., Bn] = A1A2...An Do đó, d(B1B2...Bn) = 1 Từ đó, suy ra: A1A2...An = An/B1 + An/B2 + ... + An/Bn Vậy, ta đã chứng minh được đẳng thức cần chứng minh.