cho ab=4 và a>b .TÌm giá trị nhỏ nhất của P=(a^2+b^2+4)/(a-b)

Ta có thể viết lại P dưới dạng:

P = (a^2 - 2ab + b^2 + 4 + 2ab) / (a - b)

P = ((a - b)^2 + 4 + 2ab) / (a - b)

Vì a > b, nên a - b > 0. Do đó, ta có thể chia cả tử và mẫu cho (a - b) mà không làm thay đổi tính chất của bài toán:

P = ((a - b)^2 + 4 + 2ab) / (a - b) = (a - b) + (2ab + 4) / (a - b)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của (2ab + 4) / (a - b).

Ta có thể viết lại biểu thức này dưới dạng:

(2ab + 4) / (a - b) = 2b + 4 / (a - b)

Vì a > b và ab = 4, nên b < 2 và a > 2. Khi đó:

2b + 4 / (a - b) > 2b + 4 / (a - 2)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này, ta có thể sử dụng đạo hàm:

d/dx (2x + 4 / (a - x)) = 2 - 4 / (a - x)^2

Đạo hàm này bằng 0 khi và chỉ khi (a - x)^2 = 4, tức là a - x = ±2.

Nếu a - x = 2, thì x = a - 2. Nếu a - x = -2, thì x = a + 2.

Vì b < 2, nên ta chọn x = a + 2 để đảm bảo 2b + 4 / (a - b) là giá trị nhỏ nhất của biểu thức ban đầu.

Khi đó:

P = (a - b) + (2ab + 4) / (a - b) = (a - (a + 2)) + (2ab + 4) / (a - (a + 2)) = 2 + (8 / (a - 2))

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 + (8 / (a - 2)), với a > 2 và ab = 4.