Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Để chứng minh rằng không có số chính phương nào viết dưới dạng 2^p + 3^p với p là số nguyên tố, ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng.
Giả sử tồn tại một số chính phương được viết dưới dạng 2^p + 3^p, với p là số nguyên tố. Ta gọi số này là n^2, với n là một số nguyên dương.
Ta có:
n^2 = 2^p + 3^p
Vì p là số nguyên tố, nên ta có thể áp dụng định lý Fermat nhỏ để chứng minh rằng 2^p + 3^p không chia hết cho p.
Theo định lý Fermat nhỏ, nếu a và p là hai số nguyên tố cùng nhau, thì a^(p-1) ≡ 1 (mod p).
Ứng dụng định lý Fermat nhỏ vào bài toán của chúng ta, ta có:
2^(p-1) ≡ 1 (mod p)
3^(p-1) ≡ 1 (mod p)
Nhân cả hai phương trình trên với 2 và 3, ta được:
2^p ≡ 2 (mod p)
3^p ≡ 3 (mod p)
Kết hợp với giả thiết ban đầu n^2 = 2^p + 3^p, ta có:
n^2 ≡ 2 + 3 ≡ 5 (mod p)
Tuy nhiên, điều này không thể xảy ra vì n^2 không thể cùng lúc chia hết cho p và 5.
Vì vậy, giả thiết ban đầu là sai. Không tồn tại số chính phương nào viết dưới dạng 2^p + 3^p với p là số nguyên tố.
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.