chứng minh không có số chính phương nào viết dưới dạng 2^p+3^p với p là số nguyên tố

Để chứng minh rằng không có số chính phương nào viết dưới dạng 2^p + 3^p với p là số nguyên tố, ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng. Giả sử tồn tại một số chính phương được viết dưới dạng 2^p + 3^p, với p là số nguyên tố. Ta gọi số này là n^2, với n là một số nguyên dương. Ta có: n^2 = 2^p + 3^p Vì p là số nguyên tố, nên ta có thể áp dụng định lý Fermat nhỏ để chứng minh rằng 2^p + 3^p không chia hết cho p. Theo định lý Fermat nhỏ, nếu a và p là hai số nguyên tố cùng nhau, thì a^(p-1) ≡ 1 (mod p). Ứng dụng định lý Fermat nhỏ vào bài toán của chúng ta, ta có: 2^(p-1) ≡ 1 (mod p) 3^(p-1) ≡ 1 (mod p) Nhân cả hai phương trình trên với 2 và 3, ta được: 2^p ≡ 2 (mod p) 3^p ≡ 3 (mod p) Kết hợp với giả thiết ban đầu n^2 = 2^p + 3^p, ta có: n^2 ≡ 2 + 3 ≡ 5 (mod p) Tuy nhiên, điều này không thể xảy ra vì n^2 không thể cùng lúc chia hết cho p và 5. Vì vậy, giả thiết ban đầu là sai. Không tồn tại số chính phương nào viết dưới dạng 2^p + 3^p với p là số nguyên tố.