Để chứng minh rằng a/b = c/d hoặc a/b = d/c, ta sẽ giải quyết bài toán theo từng trường hợp.
Trường hợp 1: a/b = c/d
Giả sử a/b = c/d, ta nhân cả hai vế của tỉ lệ thức ban đầu với cd:
(a^2 + b^2)cd = (ab)(c^2 + d^2)
Ta có thể viết lại tỉ lệ thức này thành:
(a^2cd + b^2cd) = (abc^2 + abd^2)
Chú ý rằng a, b, c, d khác 0, do đó ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho abcd:
ac + bd = ac + bd
Phương trình trên là một tautology (mệnh đề luận lý), nghĩa là nó đúng với mọi giá trị của a, b, c, d khác 0. Do đó, khi a/b = c/d, ta có a/b = d/c.
Trường hợp 2: a/b = d/c
Giả sử a/b = d/c, ta nhân cả hai vế của tỉ lệ thức ban đầu với bc:
(a^2 + b^2)bc = (ab)(c^2 + d^2)
Ta có thể viết lại tỉ lệ thức này thành:
(a^2bc + b^3c) = (abc^2 + abd^2)
Chú ý rằng a, b, c, d khác 0, do đó ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho abcd:
ac + bd = ac + bd
Phương trình trên cũng là một tautology (mệnh đề luận lý), nghĩa là nó đúng với mọi giá trị của a, b, c, d khác 0. Do đó, khi a/b = d/c, ta có a/b = c/d.
Vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu tỉ lệ thức a^2 + b^2 / c^2 + d^2 = ab/cd đúng với a, b, c, d khác 0 và c khác -d, thì ta có a/b = c/d hoặc a/b = d/c.