Cho số hữu tỉ dương và hai số nguyên dương a,b với (a, b) = 1, thỏa mãn x + 1/x = a/b. Chứng minh rằng a + 2b là số chính phương

Để chứng minh rằng a + 2b là số chính phương, ta sẽ giải phương trình x + 1/x = a/b. Nhân cả hai vế của phương trình với x, ta có: x^2 + 1 = ax/b Điều này tương đương với phương trình x^2 - (ax/b) + 1 = 0 Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có: x = [(ax/b) ± √((ax/b)^2 - 4)] / 2 Ta cần tìm các giá trị của x để phương trình trên có nghiệm. Điều kiện để phương trình có nghiệm là phần căn bậc hai phải không âm, tức là: (ax/b)^2 - 4 ≥ 0 a^2x^2/b^2 - 4 ≥ 0 a^2x^2 - 4b^2 ≥ 0 x^2 ≥ 4b^2/a^2 x ≥ 2b/a hoặc x ≤ -2b/a Vì x là số hữu tỉ dương, nên ta chỉ xét x ≥ 2b/a. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng nếu x ≥ 2b/a thì a + 2b là số chính phương. Thay x = 2b/a vào phương trình ban đầu, ta có: (2b/a) + 1/(2b/a) = a/b (2b/a) + (a/2b) = a/b 4b^2 + a^2 = 2ab a^2 - 2ab + 4b^2 = 0 Đây là phương trình bậc hai. Áp dụng công thức nghiệm, ta có: a = (2b ± √(4b^2 - 4*4b^2)) / 2 a = (2b ± √(-12b^2)) / 2 a = (2b ± 2ib√3) / 2 a = b ± ib√3 Vì a và b là số nguyên dương, nên ta chỉ xét a = b + ib√3. Thay a = b + ib√3 vào a + 2b, ta có: a + 2b = (b + ib√3) + 2b a + 2b = b + 2b + ib√3 a + 2b = 3b + ib√3 Để chứng minh rằng a + 2b là số chính phương, ta cần chứng minh rằng 3b + ib√3 là số chính phương. Ta có: (3b + ib√3)^2 = 9b^2 + 2ib√3 * 3b + (ib√3)^2 = 9b^2 + 6ib^2√3 - 3b^2 = 6b^2 + 6ib^2√3 = 6(b^2 + ib^2√3) Vì b là số nguyên dương, nên b^2 là số chính phương. Vì vậy, 6(b^2 + ib^2√3) cũng là số chính phương. Vậy, ta đã chứng minh được rằng a + 2b là số chính phương khi (a, b) = 1 và a, b là hai số nguyên dương.