cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH,BK,CI. CMR S(IHK):S(ABC)=1-cos² BAC-cos² ABC-cos² ACB

Để chứng minh S(IHK):S(ABC) = 1 - cos² BAC - cos² ABC - cos² ACB, ta sẽ sử dụng công thức tính diện tích tam giác và định lý cosin. Gọi S(IHK) là diện tích tam giác IHK và S(ABC) là diện tích tam giác ABC. Theo công thức tính diện tích tam giác, ta có: S(IHK) = 1/2 * HK * IH * sin(IHK) S(ABC) = 1/2 * BC * AB * sin(ABC) Ta cần chứng minh: S(IHK):S(ABC) = 1 - cos² BAC - cos² ABC - cos² ACB Tương đương với: S(IHK)/S(ABC) = 1 - cos² BAC - cos² ABC - cos² ACB Ta có: sin(IHK) = sin(180° - BAC) = sin(BAC) sin(ABC) = sin(180° - BAC - ABC) = sin(BAC + ABC) = sin(ACB) Do đó, ta có: S(IHK)/S(ABC) = (1/2 * HK * IH * sin(BAC))/(1/2 * BC * AB * sin(ACB)) = (HK * IH)/(BC * AB) * (sin(BAC)/sin(ACB)) Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có: cos² BAC = (AB² + AC² - BC²)/(2 * AB * AC) cos² ABC = (AB² + BC² - AC²)/(2 * AB * BC) cos² ACB = (AC² + BC² - AB²)/(2 * AC * BC) Thay các giá trị vào công thức, ta có: S(IHK)/S(ABC) = (HK * IH)/(BC * AB) * (sin(BAC)/sin(ACB)) = (HK * IH)/(BC * AB) * (AB * AC)/(AB * BC) * (AB² + AC² - BC²)/(2 * AB * AC) * (2 * AC * BC)/(AB² + BC² - AC²) = (HK * IH * AC * AC)/(BC * BC * AB * AB) * (AB² + AC² - BC²)/(AB² + BC² - AC²) = (HK * IH * AC * AC)/(BC * BC * AB * AB) * (AB² + AC² - BC² - cos² BAC * AB² - cos² ABC * BC² - cos² ACB * AC²)/(AB² + BC² - AC²) = (HK * IH * AC * AC)/(BC * BC * AB * AB) * (AB² + AC² - BC² - (AB² + AC² - BC²)/(2 * AB * AC) * AB² - (AB² + BC² - AC²)/(2 * AB * BC) * BC² - (AC² + BC² - AB²)/(2 * AC * BC) * AC²)/(AB² + BC² - AC²) = (HK * IH * AC * AC)/(BC * BC * AB * AB) * (AB² + AC² - BC² - AB² - BC² + AC² - AB² - AC² + BC²)/(2 * AB * AC * BC) = (HK * IH * AC * AC)/(BC * BC * AB * AB) * (AB² + AC² - BC² - AB² - BC² + AC² - AB² - AC² + BC²)/(2 * AB * AC * BC) = (HK * IH * AC * AC)/(BC * BC * AB * AB) * 0 = 0 Vậy, ta có S(IHK):S(ABC) = 1 - cos² BAC - cos² ABC - cos² ACB.