Làm sao để có câu trả lời hay nhất?
03/09/2023
03/09/2023
Hình như đề bài hơi có vấn đề.
Mình sửa lại ntn
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\begin{cases}
\frac{2xy}{x+y} +\sqrt{\frac{x^{2} +y^{2}}{2}} =\frac{2\sqrt{xy} +x+y}{2} \ ( 1) & \\
\sqrt[3]{9xy+3x+6y+9} +2\sqrt[3]{6xy+2} =3x+4( 2) &
\end{cases}\\
ĐK:\ xy\geq 0,\ x+y\neq 0
\end{array}$
Ta có
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
( 1) \Leftrightarrow \left(\frac{2xy}{x+y} -\frac{x+y}{2}\right) +\left(\sqrt{\frac{x^{2} +y^{2}}{2}} -\sqrt{xy}\right) =0\\
\Leftrightarrow -\frac{( x-y)^{2}}{x+y} +\frac{( x-y)^{2}}{\sqrt{\frac{x^{2} +y^{2}}{x}} +\sqrt{xy}} =0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l}
x=y & \\
x+y=\sqrt{\frac{x^{2} +y^{2}}{2}} +\sqrt{xy} \ ( 3) &
\end{array} \right.\\
Với\ x=y\ thay\ vào\ ( 2) \ ta\ được\ \sqrt[3]{9x^{2} +9x+9} +2\sqrt[3]{6x^{2} +2} =3x+4\\
\Leftrightarrow \left(\sqrt[3]{9x^{2} +9x+9} -( x+2)\right) +2\left(\sqrt[3]{6x^{2} +2} -( x+1)\right) =0\\
\Leftrightarrow \frac{-( x-1)^{3}}{A^{2} +( x+2) A+( x+2)^{2}} +2\frac{-( x-1)^{3}}{B^{2} +( x+1) B+( x+1)^{2}} =0\\
\left( với\ A=\sqrt[3]{9x^{2} +9x+9} \ và\ B=\sqrt[3]{x^{2} +2}\right)\\
\Leftrightarrow x=1\ \left( do\ A^{2} +( x+2) A+( x+2)^{2} >0\ và\ B^{2} +( x+1) B+( x+1)^{2} >0\right)\\
\Rightarrow y=1\\
Xét\ ( 3) \ Từ\ ( 3) \ và\ điều\ kiện\ suy\ ra\ x\geq 0,y\geq 0\\
Ta\ có\ VP( 3) \leq \sqrt{2}\sqrt{\frac{x^{2} +y^{2}}{2} +xy} =x+y=VT( 3) \ ( theo\ BĐT\ Bunhiacopxki)\\
Dấu\ bằng\ có\ khi\ x=y.Vậy\ từ\ pt\ ( 3) \ \Rightarrow x=y >0\ thế\ vào\ ( 1) \ ta\ được\ x=1\Rightarrow y=1( tmđk)\\
VẬy\ hệ\ phương\ trình\ đã\ cho\ có\ nghiệm\ duy\ nhất\ ( x,y) =( 1;1)
\end{array}$
Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
CÂU HỎI LIÊN QUAN
1 giờ trước
3 giờ trước
6 giờ trước
Top thành viên trả lời