testNTTH292023 Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số   y=\frac{x+2}{x-2},   có đồ thị là (C),1.Khảo sátt àà vẽ (C),2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm   A(-6;5),Câu 1I. (2,0 điểm),1. Giải phương trình:   cosx+cos3x=1+\sqrt2sin(2x+\frac\pi4).,2. Giải hệ phương trình:   \left\{\begin{array}cx^3+y^3=1\x^2y+2xy^2+y^3=2\end{array} ight.,Câu 1II. (1,0 điểm) Tính tích phân   I=\int^{ln3}_{ln2}\frac{e^{2x}dx}{e^x-1+\sqrt{e^x-2}},Câu VI. (1,0 diểm),Hình chóp tứ giác đều SABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2. Với giá trị nào của góc   bằng 2. Với giá trị nào của góc   \alpha   giữa,mặt bên và mặt đáy của chóp thì thể tích của chóp nhỏ nhất?,Câu V. (1,0 điểm) Cho   a,b,c0:abc=1.   Chứng minh rằng:   \frac1{a+b+1}+\frac1{b+c+1}+\frac1{c+a+1}\leq1

Question

testNTTH292023 Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số &nbsp; y=\frac{x+2}{x-2}, &nbsp; có đồ thị là (C),1.Khảo sátt àà vẽ  (C),2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm &nbsp; A(-6;5),Câu 1I. (2,0 điểm),1. Giải phương trình: &nbsp; cosx+cos3x=1+\sqrt2sin(2x+\frac\pi4).,2. Giải hệ phương trình: &nbsp; \left\{\begin{array}cx^3+y^3=1\x^2y+2xy^2+y^3=2\end{array}ight.,Câu 1II. (1,0 điểm) Tính tích phân &nbsp; I=\int^{ln3}_{ln2}\frac{e^{2x}dx}{e^x-1+\sqrt{e^x-2}},Câu VI. (1,0 diểm),Hình chóp tứ giác đều SABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2. Với giá trị nào của góc   &nbsp; bằng 2. Với giá trị nào của góc &nbsp; \alpha &nbsp; giữa,mặt bên và mặt đáy của chóp thì thể tích của chóp nhỏ nhất?,Câu V. (1,0 điểm) Cho &nbsp; a,b,c>0:abc=1. &nbsp; Chứng minh rằng: &nbsp; \frac1{a+b+1}+\frac1{b+c+1}+\frac1{c+a+1}\leq1

Accepted Answer

Câu V

Ta có $\displaystyle a+b=\left(\sqrt[3]{a} ight)^{3} +\left(\sqrt[3]{b} ight)^{3} =\left(\sqrt[3]{a} +\sqrt[3]{b} ight)\left(\sqrt[3]{a^{2}} -\sqrt[3]{ab} +\sqrt[3]{b^{2}} ight)$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow a+b\geq \sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a} +\sqrt[3]{b} ight)\
\Rightarrow a+b+1\geq \sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a} +\sqrt[3]{b} ight) +\sqrt[3]{abc} =\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a} +\sqrt[3]{b} +\sqrt[3]{c} ight)\
\Rightarrow \frac{1}{a+b+1} \leq \frac{\sqrt[3]{c}}{\left(\sqrt[3]{a} +\sqrt[3]{b} +\sqrt[3]{c} ight)}\
Tương\ tự\ ta\ có\ \frac{1}{a+b+1} +\frac{1}{b+c+1} +\frac{1}{c+a+1} \leq 1\
Dấu\ bằng\ xảy\ ra\ khi\ a=b=c=1
\end{array}$