Cho tam giác ABC vuông tại A (AB

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), đường cao AH. Gọi M,N là hình chiếu của H trên AB,AC. Đường thắng đi qua A//MN cắt đường thẳng đi qua điểm C và //AH tại K, AH cắt BK tại I. Chứng minh: 3 điểm M,N,I thẳng hàng.

CoCoChue · Accepted Answer

Gọi I' là giao điểm của BK và MN

Theo bài cho IH//CK

$\displaystyle \Rightarrow \frac{BH}{BC} =\frac{BI}{BK}$(1)

Ta có: MI'//AK $\displaystyle \Rightarrow \frac{BM}{BA} =\frac{BI'}{BK}$(2)

Lại có:HM $\displaystyle \bot $AB (M là hình chiếu của H trên AB)

AC$\displaystyle \bot $AB ($\displaystyle \vartriangle $ABC vuông tại A)

$\displaystyle \Rightarrow $HM//AC

$\displaystyle \Rightarrow \frac{BM}{BA} =\frac{BH}{BC}$(3)

Từ (1)(2)(3)$\displaystyle \Rightarrow I'\equiv I$.

$\displaystyle \Rightarrow $M,I,N thẳng hàng (dpcm)

Timi · Answer

Để chứng minh 3 điểm M, N, I thẳng hàng, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh bằng hình học.

Bước 1: Vì đường thẳng đi qua A song song với MN nên ta có: ∠MAN = ∠NAM = 90°. Do đó, ta có: ∠MAH = ∠NAH = 90°.

Bước 2: Vì đường thẳng đi qua C song song với AH nên ta có: ∠CAH = ∠HAC = 90°. Do đó, ta có: ∠CAK = ∠HAK = 90°.

Bước 3: Vì ∠MAH = ∠CAK = 90° nên ta có: ∠MAK = ∠CAH.

Bước 4: Vì ∠MAK = ∠CAH và ∠MKA = ∠CHA nên tam giác MAK cân với tam giác CAH (theo định lý góc cạnh góc).

Bước 5: Vì tam giác MAK cân với tam giác CAH nên ta có: AK = AH.

Bước 6: Vì AK = AH nên ta có: ∠AKI = ∠AHI.

Bước 7: Vì ∠AKI = ∠AHI và ∠KAI = ∠HAI nên tam giác AKI cân với tam giác AHI (theo định lý góc cạnh góc).

Bước 8: Vì tam giác AKI cân với tam giác AHI nên ta có: AI = HI.

Bước 9: Vì AI = HI nên ta có: I là trung điểm của AH.

Bước 10: Vì I là trung điểm của AH nên ta có: M, N, I thẳng hàng (vì M, N là hình chiếu của H trên AB, AC).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng 3 điểm M, N, I thẳng hàng.

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), đường cao AH. Gọi M,N là hình chiếu của H trên AB,AC. Đường thắng đi qua A//MN cắt đường thẳng đi qua điểm C và //AH tại K, AH cắt BK tại I. Chứng minh: 3 điểm M,N...